关于利用HP39gs对反函数的初步研究.doc

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1、关于利用HP39gs对反函数的初步探究标题：关于利用HP39gs对反函数的初步探究学校：海口市第一中学班级：高一（20）班姓名：封岳滨指导教师：潘峰论文编辑：潘峰学生联系方式：15008970237指导教师联系方式：13876331280提交时间：2009年1月12日Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究关于利用HP39gs对反函数的初步探究摘要：以课本上提及的同底的指数函数与对数函数互为反函数的知识为背景，本文主要利用图形计算器HP39gs从三个角度“同底的指数函数与对数函数图象间

2、的关系？三角函数是周期函数，是否存在反函数？原函数与反函数会不会有交点，若有，有几个？”入手，对反函数进行了初步的探究，得到了一些相关的结论。关键词：反函数，反三角函数，交点一．探究背景数学课本上只是简略介绍了反函数，对于反函数并没有详细解说，从书上我们只了解到同底的指数函数与对数函数互为反函数，至于确切的什么是反函数？有什么性质？但是对于反函数，我们了解得太少，因此我选取“同底的指数函数与对数函数图象间的关系？三角函数是周期函数，是否存在反函数？原函数与反函数会不会有交点，若有，有几个？”三个角度

3、进行研究。二．问题的探究1．同底的指数函数与对数函数图象间的关系作出函数的图象进行对比（如图1-1）图1-1函数的定义域为，值域为；函数的定义域为，值域为。结论：同底的指数函数与对数函数的定义域，值域，对应关系都相反，而且它们的图象关于直线对称。Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究根据上面的探究，我猜想原函数与其反函数会不会都满足函数三要素都相反呢？会不会都关于直线对称呢？继续往下探究。2．反三角函数（1）探究反正弦函数：利用图形计算器作图（计算器上反正弦函数用表示）图1-2结论：

4、①函数的定义域为；值域为。②函数在定义域内是增函数。③函数关于原点对称，故是一个奇函数。（2）探究反余弦函数：利用图形计算器作图（计算器上反正弦函数用表示）Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究图1-3结论：①函数的定义域为；值域为。②函数在定义域内是减函数。③函数既不是偶函数，也不是奇函数。（3）探究反正切函数：利用图形计算器作图（计算器上反正弦函数用表示）图1-4结论：①函数的定义域为；值域为。②函数在定义域内是增函数。③函数关于原点对称，故是一个奇函数。（4）小结与反思①计算器

5、作出来的反三角函数只是在原函数的一个单调区间内的图象，例如：反正弦函数的图象是在正弦函数的一个单调区间内作出的图象（因为正弦函数是周期函数，值域范围内的每一个y值都有无数个x与其对应，如果在正弦函数的定义域Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究内去求反函数，那么将不存在反函数）；②进一步验证了原函数与其反函数的定义域，值域，对应关系都相反；③原函数与其反函数的单调性相同，反函数如存在奇偶性，与原函数奇偶性相同；④函数只有在单调的情况下才存在反函数。（不单调的函数不满足函数概念中的自变

6、量的任意对函数值的唯一）⑤三角函数的图象（相应单调区间内）与其反三角函数的图象关于对称。（图1-5）图1-5⑥猜想：在正弦函数的其他单调区间里（如），作出的图象能否同样用来表示正弦函数的反函数呢？（利用五点法作图验证，图1-6）Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究图1-63．原函数与其反函数的交点情况（1）函数与其反函数的交点（图1-7）图1-7结论：两个图象有且只有一个交点，并且交点在上。补充：可用表格NUM中的值和用函数FCN中的Intersection求两图象交点的方法验证交

7、点是否在上。（2）函数与其反函数的交点（图1-8）Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究图1-8结论：由于函数的反函数是其本身，所以两个函数有无数多个交点，但只有一交点在上。（3）函数与函数的交点（图1-9）图1-9结论：两个函数图象没有交点。（4）函数与函数的交点（图1-10）图1-10结论：两个函数图象有三个交点，其中只有一个交点在上。（5）小结与反思①原函数与其反函数单调性相同；②当原函数在定义域范围内为增函数时，若它与直线Page8of8关于利用HP39gs对反函数的初步探究

8、没有交点，则与其反函数也没有交点；若它与直线有交点，则与其反函数必有交点，且在直线上。当原函数在定义域范围内为减函数时，若它与直线没有交点，则与其反函数也没有交点；若它与直线有交点，则与其反函数必有交点，但交点可能在直线上，也可能不在直线上。三、建议①由于三角函数应用广泛，故建议能否开发在弧度制下的直角坐标系下的作图功能；②计算器上只有限定定义域，能否开发可以限定值域的功能。③计算器的按键不是很方便，能否采用类似手机触屏式的界面。Page8of8