高中数学不等式和绝对值不等式

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第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式 1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件） 练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a>b，那么ac>bc；（2）如果a>b，那么ac2>bc2；（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；（4）如果a>b,cb-d。2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。（假命题）（假命题）（真命题）（假命题）解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6) 例2、已知a>b>0，c>d>0，求证：例1、求证：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。证明：因为a>b>0,c>d>0，由不等式的基本性质（3）可得ac>bc,bc>bd，再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。练习：如果a>b,c>d，是否一定能得出ac>bd？并说明理由。 例3、若a、b、x、y∈R，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若c>a>b>0，则（2）若a>b,，则a>0，b<0。（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是[-1,20] 例6、已知a>0，a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且a>0，所以b=且c>0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0，所以b-c≥0.当b-c>0，即b>c时，b=得所以a2c+c3>2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即aa2，所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，与前面矛盾，故b≠c.所以ab,ab>0，那么（2）如果a>b>0，c0，那么当且仅当a=b时，等号成立。证明：因为=a+b-2≥0，所以a+b≥，上式当且仅当，即a=b时，等号成立。称为a,b的算术平均称为a，b的几何平均两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO 例3求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 ABENMFDCQPHG例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。 课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题5、设a,b∈R+,且a≠b，求证：(1)(2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；（2）a+b+c>9、已知x、y∈R,求证： 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。 13、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？14、已知球的半径为R，球内球圆柱的底面半径为r，高为h，则r与h为何值时，内接圆柱的体积最大？ 二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab>0和ab<0两种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b （2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b| 定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。 定理1的代数证明： 探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：|2x+3y-2a-3b|<5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε. 定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B 例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。 练习：课本P20第1、2题.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|2.用几种方法证明 DD C 小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3、4、5题 2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则|x|a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|a （1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法： 例3解不等式|3x-1|≤2例4解不等式|2-3x|≥7补充例题：解不等式 |ax+b|c(c>0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|-c}∩{x|ax+bcax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b<-c}∪{x|ax+b>c},并课堂练习：P20第6题 x12-2-3ABA1B1 yxO-32-2 ①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法作业：P20第7题、第8题(1)(3)练习：P20第8题(2) 补充练习：解不等式：（1）1<|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|<2.（3）|3x-1|>x+3.答案：（1）{x|0