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1、§3从速度的倍数到数乘向量10白邢学H区I合作探究区I1.掌握数乘向量的运算及几何意义.(重点)课标解读2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理.(难点)3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.理耿材自查自测固”器咄数乘向量及其运算律M1.数乘向量(1)定义：实数入与向量a的积是一个向量，记作后.(2)长度：
2、湖=
3、恫.当Z>。时，与a的方向相同;⑶方向：必的方向[当入<0时，与a的方向相反.(4)几何意义：将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当p
4、>1时，表示向量a的有向线段在原方向g0)或反方向(右0)上伸长为原来的JJ
5、倍；当
6、4<1时，表示向量a的有向线段在星方向g0)或反方向(K0)上缩短为原来的U倍.2.运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设％科为实数，则(1)(计»a=入a+园;(2)Ka))=入a⑶Xa+b)=入a+入b.阿通」]共线向量定理1.判定定理：a是一个非零向量,若存在一个实数%使得b=4a,则向量b与非零向量a共线.2.性质定理：若向量b与韭零向量a共线，则存在一个实数人使得b=Ja.豉疑雅加生王动提”知脑”I工1向量的线性运算卜例计算:(1)3(6a+b)-9(a+3b)；(2)2[(3a+2b)-(a+2b)]-2(2a+'3b);
7、(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.【自主解答】(1)原式=18a+3b—9a—3b=9a.…13333(2)原式=2(2a+2b)—a—4b=a+[b-a—]b=0.(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b—c.I规律方法I1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.2.对于线性运算，把握运算顺序为：运算律去括号一数乘向量一向量加减.>S£illlK…211(1)化简3[(4a-3b)+^b-4(6a-7b)];…
8、,12(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求(3a—b)—(a—3b)+(2b-a).【解】(1)原式=2[4a-3b+1b—3a+：b]=2[(4一$a+(-3+1+7)b]33243234102511511=3(2"逆=3a一得・(2)原式=；a—b—a+
9、b+2b—a=(；—1—1)a+(—1+^+2)b33335555=-3a+3b=—3(3i+2j)+3(2i—j)/110105.5.心=(-5+y)i+(-j-3)j=-3i-5j.共线向量定理及应用卜你1已知两个非零向量a、b不共线，OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+
10、3b.⑴证明：A、B、C三点共线.（2）试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.————————【思路探究】（1）AB=OB—OA-AC=OC—OA一找出AB与AC的等量关系（2）令ka+b=Xa+kb）一利用a与b不共线，求入k———【自主解答】（1）证明由于OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b,则AB=OB—OA=a+2b-a-b=b,而AC=OC—OA=a+3b—a—b=2b,于是AC=2AB,即AC与AB共线，又「AC与AB有公共点A,，A、B、C三点共线.（2）解由于a、b为非零向量且不共线，，a+kbw0.若ka+b与a+
11、kb共线，则必存在唯一实数入使ka+b=（a+kb）,整理得：（k-Na=Cb1）b,因为非零向量a、b不共线，口此卜―入=0k=1或k=—1、入b1=0、入=1片一1即存在实数Q1,使ka+b与a+kb共线，此时k=1.或存在实数上—1,使ka+b与a+kb共线，此时k=—1,因此，k=土都满足题意.I规律方法I1.本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点，并且共线.2.证明两个向量a与b共线时，只需证明a=电（bw°）.若已知a与b（bw。）共线，则可利用两向量共线的性质，得到%a=22b.利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及
12、两直线平行等问题，如要证A,B,C三——————点共线，只需证AB=虫C或AB=kBC（入kCR）等；要证AB//CD,只需证AB=4D（入CR）,也可解决相关求参问题.kMKJIl练已知e〔w0,入eR,a=e[+b=2e1.若a与b共线，则（）A.0B.62=0C.e1H62D.七0或e1//%【解析】e1//e2时，显然a与b共线；若e1,e2不共线，设a=kb,则有（1—2k）e1+是1-2k=0,I是《，即S1k=2，10、入=0.向量线性运算的综合应用10C图2—3—1「你1如图所示，已知？ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,
13、L,且AK=，，AL=——e2,试用e1，为表示BC,CD.——【思路探究】解答本题可先将BC,CD视为未知量，再利用已知条件找等量关系，歹U——方程（组），通过解
