2021_2022学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积课件新人教A版必修第二册.ppt

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1、6.2.4向量的数量积课标定位素养阐释1.通过物理中功的实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义.2.会计算平面向量的数量积.3.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.加强数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习自主预习·新知导学一、两个向量的夹角与垂直【问题思考】1.如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么?提示:力、位移都是矢量,夹角为θ.2.填表:两个向量的夹角与垂直答案:A二、向量的数量积

2、【问题思考】1.【问题思考1】中,力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?提示:由物理知识容易得到W=

3、F

4、

5、s

6、cosθ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.2.填表:两个非零向量的数量积3.特别提醒:(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;(2)数量积的结果为数量,不再是向量;(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.答案:C三、投影向量【问题思考】1.如图,已知线段AB和直线l,过线段AB的两个端点A,B,

7、分别作直线l的垂线,垂足分别为A1,B1,得到线段A1B1,那么线段A1B1叫做什么?提示:线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.2.设直线AB与直线l的夹角为θ,那么

8、A1B1

9、与

10、AB

11、,θ之间有怎样的关系?提示:

12、A1B1

13、=

14、AB

15、cosθ.4.做一做:已知非零向量a与b的夹角为45°,

16、a

17、=2,与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c=.四、平面向量数量积的性质【问题思考】已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.1.根据数量积公式,计算a·e,a·a.提示:a·e=

18、a

19、

20、e

21、cosθ=

22、

23、a

24、cosθ,a·a=

25、a

26、

27、a

28、cos0°=

29、a

30、2.2.若a·b=0,则a与b有什么关系?提示:∵a·b=

31、a

32、

33、b

34、cosθ=0,a≠0,b≠0,∴cosθ=0,θ=90°,a⊥b.3.当θ=0°和180°时,数量积a·b分别是什么?提示:当θ=0°时,a·b=

35、a

36、·

37、b

38、;当θ=180°时,a·b=-

39、a

40、·

41、b

42、.4.填空:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=

43、a

44、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=

45、a

46、

47、b

48、;当a与b反向时,a·b=-

49、a

50、

51、b

52、.答案:30°五、

53、平面向量数量积的运算【问题思考】1.根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律(如下表),这些结果正确吗?提示:除结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是错误的,其他都是正确的.2.向量数量积的运算律【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)0·a=0a.(×)(2)若a·b=0,则a与b至少有一个为零向量.(×)(3)若a·c=b·c(c≠0),则a=b.(×)(4)对于任意向量a,都有a·a=

54、a

55、2.(√)合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一计算平面向量的数量积【例1】已知

56、a

57、=3,

58、b

59、=4,

60、

61、c

62、=5,向量a,b的夹角是120°,a,c的夹角是45°.求:(1)a·b;(2)(a-2b)·(3a+b);分析:根据向量数量积的定义和运算律进行求解.求向量数量积的一般步骤:(1)运用数量积的运算律展开、化简;(2)确定向量的模与夹角;(3)套用数量积的定义式代入计算即得.【变式训练1】已知

63、a

64、=4,

65、b

66、=7,且向量a与b的夹角为120°,求(2a+3b)·(3a-2b).解:(2a+3b)·(3a-2b)=6a2-4a·b+9b·a-6b2=6

67、a

68、2+5a·b-6

69、b

70、2=6×42+5×4×7×cos120°-6×72=-268.探究二求投影向量【

71、例2】已知

72、a

73、=4,e为单位向量,它们的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量是;向量e在向量a上的投影向量是.向量a在向量b上的投影向量的求法将已知量代入a在b方向上的投影向量公式

74、a

75、cosθe(e是与b方向相同的单位向量,且)中计算即可.【变式训练2】已知

76、a

77、=4,

78、b

79、=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是.探究三利用数量积解决向量的夹角和垂直问题【例3】(1)已知非零向量a,b满足

80、b

81、=4

82、a

83、,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()解析:由题意,得a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即a·b=-2a2,设a与b的夹角为θ,

84、答案:C(2)已知a,b