2021_2022学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积巩固练习含解析新人教A版必修第二册.docx

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1、高考6.2.4向量的数量积课后训练巩固提升一、A组1.已知

2、a

3、=6,

4、b

5、=2,a与b的夹角为60°,则a·b等于()A.6+3B.6-3C.6D.7解析:a·b=

6、a

7、

8、b

9、cos60°=6×2×cos60°=6.答案:C2.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与-b的夹角是()A.60°B.120°C.30°D.150°解析:平移向量a,b使它们有公共起点O,如图所示,则由对顶角相等可得向量-a与-b的夹角也是60°.答案:A3.已知向量m,n的夹角为π6,且

10、m

11、=3,

12、n

13、=1,则

14、

15、m-n

16、=()A.4B.3C.2D.1-9-/9高考解析:∵

17、m-n

18、2=m2-2m·n+n2=3-2×3×1×32+1=1,∴

19、m-n

20、=1.答案:D4.已知

21、b

22、=3,向量a在向量b上的投影向量为32b,则a·b=()A.3B.92C.32D.272解析:设向量a,b的夹角为θ.∵a在b上的投影向量为

23、a

24、cosθb

25、b

26、=

27、a

28、cosθ

29、b

30、b,∴

31、a

32、cosθ

33、b

34、=32,即

35、a

36、cosθ=92.∴a·b=

37、a

38、

39、b

40、cosθ=3×92=272.答案:D5.设a,b,c是任意三个非零向量

41、且互不共线,下列各式正确的个数是()①(a·b)2=a2·b2;②a·ba2=ba;③(a·b)·c-(a·c)·b=0;④

42、a·b

43、=

44、a

45、·

46、b

47、.A.0B.1C.2D.4-9-/9高考解析:①中错误地迁移了实数的乘方运算,事实上,由a·b=

48、a

49、

50、b

51、cosθ得(a·b)2=(

52、a

53、

54、b

55、cosθ)2=

56、a

57、2

58、b

59、2cos2θ=a2b2cos2θ,其中θ=,只有当cos2θ=1,即a∥b时(a·b)2=a2·b2才成立,而当cos2θ≠1时,a2·b2cos2θ

60、(a·b)2

61、a·b

62、=

63、a

64、

65、b

66、

67、cosθ

68、,只有当θ=0或θ=π时,

69、a·b

70、=

71、a

72、·

73、b

74、才成立,故④错.答案:A6.已知

75、a

76、=8,e为单位向量,a与e的夹角为150°,则a在e上的投影向量为. 解析:a在e上的投影向量为

77、a

78、cos150°e=8×-32e=-43e.答案:-

79、43e7.若向量a,b满足

80、a

81、=2,

82、b

83、=1,a·(a+b)=1,则向量a,b的夹角的大小为. 解析:∵

84、a

85、=2,a·(a+b)=1,∴a2+a·b=2+a·b=1.∴a·b=-1.设a,b的夹角为θ,则cosθ=a·b

86、a

87、

88、b

89、=-12×1=-22,又θ∈[0,π],∴θ=3π4.答案:3π48.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=. -9-/9高考解析:b·c=b·[ta+(1-t)b]=t·a·b+(1-t)b2=12t+1-t=1-1

90、2t=0,解得t=2.答案:29.已知向量a,b的长度

91、a

92、=4,

93、b

94、=2.(1)若a,b的夹角为120°,求

95、3a-4b

96、;(2)若

97、a+b

98、=23,求a与b的夹角θ.解:(1)a·b=

99、a

100、

101、b

102、cos120°=4×2×-12=-4.又

103、3a-4b

104、2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴

105、3a-4b

106、=419.(2)∵

107、a+b

108、2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(23)2,∴a·b=-4,∴cosθ=

109、a·b

110、a

111、

112、b

113、=-44×2=-12.又θ∈[0,π],∴θ=2π3.10.已知向量a,b不共线,且

114、2a+b

115、=

116、a+2b

117、,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵

118、2a+b

119、=

120、a+2b

121、,∴(2a+b)2=(a+2b)2,-9-/9高考∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,∴a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.若非零向量a与b的夹角为2π3,

122、b

123、=4,(a+2b)·(a-b)=

124、-32,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:(a+2b)·(a-b)=a2+2a·b-a·b-2b2=a2+a·b-2b2=-32,∵a·b=

125、a

126、

127、b

128、cos2π3=

129、a

130、×4×-12=-2

131、a

132、,∴

133、a

134、2-2

135、a

136、-2×42=-32.∴

137、a

138、=2(

139、a

140、=0不合题意,舍去).答案:A2.若非零向量a,b满足

141、a

142、=

143、b

144、,(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:设向量a与b的夹角为θ,∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0