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《高中数学椭圆及其标准方程教学案例.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、椭圆及其标准方程教学目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及a，b，c三者的关系教学重点：椭圆的定义及标准方程教学难点：标准方程的推导教学过程：一、引入我们上两节课学习了方程与曲线的关系，一条曲线满足某个方程，我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上，这条曲线上的点一定能满足这个方程，我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤：建系，写出点的坐标的集合，建立方程，化简方程，检验。曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的，具有一些特殊性质的曲线，今天我们将要学习一种特殊的曲线，在学习之前我们先来看一段小视频。这个
2、是我们神六飞行的一些片段，通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹是一个椭圆，我们知道除了神六，我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆，椭圆在我们的生活中也是随处可见。既然椭圆在生活中是如此的常见，人们是怎么准确的画出椭圆的呢？在画椭圆之前同学们回忆一下我们是怎样画圆的？定出圆心，半径长，绕着圆心画一圈就可以了，对比圆，椭圆会不会有相似的画法呢？把细绳两端拉开一段距离，固定，拉紧绳子，移动笔尖，同学们想想，在这个过程中什么是不变的？（绳子长）椭圆定义：平面内到两个定点的F1,F2的距离之和等于常数（大于
3、F1F2
4、）的点的
5、轨迹叫做椭圆。问：为什么这个常数要大于
6、F1F2
7、?如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？然后让学生来演示，我们可以看到当等于
8、F1F2
9、是轨迹是线段F1F2,当小于
10、F1F2
11、时，这样的M点不存在。F1，F2两个点叫做椭圆的焦点，而这两点的距离叫做是椭圆的焦距。为了书写方便我们规定
12、F1F2
13、=2c，MF1+MF2=2a，椭圆也是一条曲线，他有没有方程呢?再回忆一下求曲线方程的一般步骤。请学生回答求曲线方程的步骤现在我们要求椭圆的方程，第一步就是要建系，我们应该怎样来建立坐标系呢？让同学们讨论，最后得出以Fi,F2所在直线为x轴
14、，线段FE的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图2-27，推导出方程．以Fi,F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26;我们选择方案一来推导椭圆的方程解1）建系：以Fi,F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M（x，y），设两定点坐标为：F1（-c，0），F2（c，0），2）则M满足：
15、MFi
16、+
17、MF2
18、=2a,4）化简．我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．下面我们就一起来
19、完成这部分计算．（师生共同完成）a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28,看看a与c的关系如何？请结合图形找出方程中a、c的关系．根据椭圆定义知道a2>c2,且如图所示，a与c可以看成RtzXMOF勺斜边和直角边．那我们不妨令b2=a2-c2,
20、则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2,如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？其中a与b的关系如何？为什么？a>b>0,因为a与b分别是RtzXMOF勺斜边、直角边.教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1）方程中条件a>b>0不可缺少（结合图形），当a=b>0时，就化成圆心在原点的圆的方程2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；3）请学生猜想：若用方案二（即焦点在y轴上），得到的方程形式又如何呢？如果此处学生不能给出，教师将自行给出师：请同学们课后进行推导验
21、证.师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a>b>0补上.)师：像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程，我们称之为椭圆的标准方程。师：下面我们来对比一下，椭圆两个标准方程的异同定义
22、MF1
23、+
24、MF2
25、=2a(2a>2c>0)图形方程住日a,b,c之间的关系结论：教师引导学生得出：(1)在两种标准方程中，:a2>b2,•.•可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.(2)在两种标准方程中，都有a>b>0(3)椭圆的焦点总在长轴上，如焦点在X轴上，则焦点坐标为(c,0)，(-c,0)；如焦点在Y轴上，则焦点坐
26、标为(0,c)，(0,-c)(4)a,b,c始终满足关系式a2-b2=c2例题与练习例1：平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程.分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程.解：这个轨迹是
