椭圆及其标准方程教学案例

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1、《椭圆及其标准方程》教学案例(刘长信2011-2-28)一、教材的地位和作用地位:本节是圆锥曲线的第四节课,此前学生学习了直线和圆的方程,并且对曲线与方程的概念有所了解,同时学习了求简单的曲线方程和利用坐标法研究曲线的几何性质.椭圆的学习为以后研究双曲线、抛物线提供基本的模式和理论基础。因此这节科有承前启后的作用,也是本章的重点内容之一。作用:本节内容对进一步理解曲线与方程的概念,深化数形结合、类比的数学思想有重要的意义二、学情分析在经过直线和圆的方程的学习之后,学生对坐标法研究曲线的性质有了进一步的理解,初步具备了的用旧知识解决新问题的能力。但由于普通中学的学

2、生基础较差,驾御知识的能力比较薄弱。因此,在教学过程中教师必须进行细致的启发和引导,从而激发学生的学习兴趣,充分发挥其主观能动性,才能达到预期的教学目的.。三、教学目标知识目标:初步掌握椭圆的定义,理解椭圆标准方程的推导过程,掌握标准方程。能力目标:巩固求曲线方程的步骤与方法,进一步熟练用代数法研究曲线的性质,进一步培养学生化归意识和转化的能力情感目标:在和谐的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情景。四、重点难点重点:椭圆的定义及其标准方程的求解,并且在指导学生的过程中抓住数形结合的思想。难点:椭圆定义的理解,标准方程的推

3、导。五、教法设计与学法指导教法设计:通过设问、启发、课堂训练的教学程序,采用引导发现、探索讨论、老师点评的授课方式,培养学生的学习能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片,几何画板辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围.学法指导:本节的学习要注意对椭圆定义的理解,要把握好“和为定值”与“大于F1F2”的要求,注意两种标准方程与曲线的对应关系,在求解过程中要注意焦点的位置,注意a,b,c之间的关系六、教学过程:教学环节教师活动设计意图、学生活动创设情境演示图片:(1)油罐车的横截面的轮廓线(2)宇宙飞船的飞行轨道设问:实例图片中共

4、同的几何图形是什么?通过对教材的再创造,为学生提供尽可能丰富的知识背景,使学生经历数学知识发生发展的过程,使学生了解数学来源于实际。从而使新课的引入自然生动、易于接受。1.通过观察图片2.思考教师提出的问题引入新课引导学生:从熟悉的曲线开始研究,引导学生类比圆和椭圆,联想圆的定义(注意定义中的关键词),为得出椭圆的定义打下基础。实验操作:将一根无弹性的细绳的两端用图钉固定在纸板上,用笔尖将绳拉紧,并沿细绳运动,所得的图形上的点满足什么条件?如果调整两图钉之间的相对位置,所得图形有何变化?(在操作过程中,引导学生探索思考)探讨研究,共同得出结论:(1)当2a>2c

5、时,轨迹是椭圆(2)当2a=2c时,轨迹是以F1F2为端点的线段(3)当2a<2c时,无轨迹归纳定义:通过以上实验操作,尝试让学生归纳椭圆的定义,并且共同探讨完善定义中的不足之处。(有的概念由教师直接给出,如焦点、焦距等)学生在归纳定义时容易出错的细节:“平面内”、“距离之和”、“常数大于两定点间距离”通过类比有利于学生由圆的定义自然过度到椭圆的定义,从而能深刻地把握概念的本质。引导学生实验操作,把实际问题抽象成数学模型,是学生形成和掌握概念的前提,也是培养学生观察分析能力的重要手段。通过实验操作演示,由学生自行总结椭圆的定义并完善,有助于正确概念的形成和对概念

6、的深入理解。认真观察教师的演示实验,并在教师的提示下思考并讨论以下问题:1.圆的几何意义,椭圆上的每个点所具有的共同特征。2.通过类比圆的定义,归纳出椭圆的定义。知识探究教师引导:求曲线方程的步骤是什么?学生回答:(1)适当建立坐标系(2)设曲线上任意动点P(x,y)利用求动点轨迹的一般方法求出椭圆的轨迹方程。(1)找出动点满足的几何条件,根据条件列出方程(2)化简方程学生可能有所遗忘,教师可根据情况给予适当提示点拨提示:建系一般应遵循简洁、优化的原则,使点的坐标、几何量的表达式简单化,充分利用图形的对称性,使学生发现最佳的建系方法。推导标准方程:(学生讲述,教

7、师板书)解:建立如图所示的直角坐标系得:(焦点在x轴上)设=2c,P点的坐标P(x,y),定长为2a则焦点的坐标是F1(-c,0)F2(c,0)动点P满足+=2a故+=2a化简为:为使方程简单、对称,引入b2=a2-c2(由教师提出)从而得到椭圆的标准方程:+=1(a>b>0)教师引导学生去发现a、b、c之间的几何意义。焦点在y轴上的椭圆标准方程由学生类比得出学生可能存在的问题:学生未必能自行发现a、b、c间几何意义,教师可尝试先给出结论,让学生寻找理由。数学知识不能简单机械地从教师迁移到学生。通过实验操作将抽象的问题具体化,有利用调动学生的学习兴趣和积极性,也

8、就是说学生不只是模仿和接

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