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1、锐角三角函数与圆综合训练题例题一2013加州)如图，D为。0上一点，点C在直径BA的延长线上，/CDAWCBD(1)求证：cD=ca?cb(2)求证：CD是。0的切线；(3)过点B作。0的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tan/CDA上，求BE的长.分析：(1)通过相似三角形(△AD6ADB(C的对应边成比例来证得结论；(2)如图，连接OD欲证明CD是。0的切线，只需证明CDL0A即可；(3)通过相似三角形^EB6AODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长即可.解答：(1)证明：CDAWCBD/C=/C,..△AD6ADBC空理，即cD=ca
2、?cbDCBC(2)证明：如图，连接OD.「AB是。0的直径，，/ADB=90,.•.Z1+73=90°.•.OA=OD.•.Z2=Z3,.•.Z1+72=90°.又/CDA=CBD即/4=/1,.•.Z4+72=90°,即/CDO=90,•••ODLOA又••・OA是。0的半径，••.CD是。0的切线；(3)解：如图，连接OE.••・EBCDt匀为。0的切线，，ED=EBOELDR7•••/ABD廿DBE=90,/OEB+DBE=90,•./ABDWOEB/CDA=OEB而tan/CDA上,3•.tan/OEB=95=Z,BE3•.RtACDO^RtACBE-CD皿维2CB
3、BEBE3'・•.CD=8在Rt^CBE中，设BE=x,(x+8)2=x2+12：解得x=5.即BE的长为5.例题二如图，AD是^ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M且/B=ZCAEEF:FD=4:3.(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos/AED的值；(3)如果BD=10,求半径CD的长.(1)由AD是4ABC的角平分线，/B=ZCAE易证得/ADEMDAE即可得ED=EA又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF±AR由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；(2)首先连接DM设EF=4k,df=
4、3k,然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；(3)易证得aAEa4BEA然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：(5k)2=-k?(10+5k),解此方程即可求得答案.2解(1)证明：.「AD是4ABC的角平分线,7答：，/1=/2,••/ADEW1+/B,/DAEW2+/3,且/B=/3,•••/ADEWDAEED=EA,「ED为。0直径，/DFE=90,•.EHAQ•・•点F是AD的中点;(2)解：连接DM设EF=4k,df=3k,贝uED=/i居京不5k，•••1ad?ef』ae?dm22••.DM延巫巫空3k,AE5k5ME
5、=/^-D产告，./AcnME7•.cos/AED=—=——；DE25(3)解：.一/B=Z3,/AEC为公共角，••.△AE6ABEA•.AEBE=CEAE••.ae2=ce?be(5k)2韭k?(10+5k),2,.k>0,• k=2,•.CD至k=5.2例题三2014烟台如图,AB是＜9。的直径.延长AE至尸•便EP及8D垂直于弦"，垂足为点氏点D在FC士.设/PCH=o2POC=四求证JaM*tan4=4.7(本题满分8分)证明：连接自C.上分贝叱4=：号*………2分'：AB是®。的直径..ZACB=90Aun-1-=第.3分VBD1HC,Atan0-/BDfAC
6、.*：.^PBD=ZA.VZF-ZF.二△PB£X/^P4C「BD_PBAHEM^=.1——!i!i+*4■-4ACPAfVPB=OB=OA,•PB=1''P丈_3，*SBDBCBD1■L・加多•阮,恁=*"亍例题四如图，O。是△ABC的外接圆，AB为直径，ODBC交。。于点D,交AC于点E,连接AD,BDDCD(1)求证：AD=CD(2)若AB=1Qcos/ABcN,求tan/DBC的值.圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形..――(1)由AB为直径，ODBG易得ODLAG然后由垂径定理证得，AD=CD,继而证得结论；(2)由AB=1Qcos/ABC.,
7、可求得OE的长，继而求得DE,AE的长，则可求得5tan/DAE然后由圆周角定理，证得/DBCWDAE则可求得答案.(1)证明：・••AB为。0的直径，，/ACB=90,•.OD/BG・・•/AEOWACB=90,.ODLACd»****(b.「，
8、二1I.AD=CD7(2)解：AB=10，OA=OD=AB=5,2•.OD/BGAOEWABC在Rt^AEO中，OE=OA?coSAOE=OA?coSABC=5<总=3,5DE=OD=OE=53=2,ae=7aO2-0E2=Vs2-S2=4，在Rt^AED中
