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1、微分方程(一)基本概念和一阶微分方程1、通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；有时也称为一般解但不一定是全部解。特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。(有的是用隐函数表示！！！)2、几阶微分方程就有几个初始条件。微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。3、可分离变量的微分方程：g(y)dy=f(x)dx推广形式:(1)齐次方程—C),令―,则鱼二uX包「(u)dxxxdxdx巴空C=ln
2、x
3、Cf(u)-ux⑵2dx贝V理=abf(u)二；Idx二f(axbyc)(a=0,b=0),令axbyc二u
4、,dudx=xcabf(u)(3)dy=f(內x4y&)dxa2xb2yc2.a1b1a2b2:::1•当厶斗侍0情形，先求出Ya1xb
5、yc1a2xb2yc2二0-的解(a,P),令u=x_a=0：：：2•当厶则空二dua2ub2v=
6、31a2Idybib2
7、=0情形，令a2=a1b1—f(匕)属于齐次方程情形。a2b2-udyb2bi「则齐“；：：；)：2)，令u~x5,贝卩理=6d®=a1b1f( dx'dxaiu-c^)属于可分离变量方程情形。C24、一阶线性微分方程及其推广(1)一阶线性齐次方程：鱼，P(x)y=0,它也是可分离变量方程,dx通解公式为y=Ce尸以：9为
8、任意常数)⑵一阶线性非齐次方程：鱼P(x)^Q(x),用常数变易法可求出通解公式dx令y=C(x)e匸宀川,代入方程求出C(x)，则得y=e*宀川(Q(x)^^X)dXdxC)(3)见下页(3)伯努利方程：dyP(x)y=Q(x)yn(n=0,1),令z=y'~,dx把原方程化为dz-(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x),再按照一阶线性非齐次方程求解。dx(4)方程:段可化为dxP(y)x=Qs以y为自变量，x为未知函数，再按照一阶线性非齐次方程求解5、全微分方程及其推广(1)全微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy=0,满足-Q=—Pexcy通解:u(x,y)二C,其中u
9、(x,y)满足du(x,y)二P(x,y)dxQ(x,y)dy求u(x,y)的常用方法:第一种：凑微分法P(x,y)dxQ(x,y)dy==du(x,y)把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。2222x+yx-yxdxydy=d();xdx_ydy=d();22ydx+xdyydxxdy=d(xy);d(lnxy);xyxdxydyxyxdy-ydx122"[2ln(x-y)];x2ydx-xdyx2y2ydx「xdy22x-yxdxydy,2,22(xy)xdxydy1(x21,z22xdx-ydy=d[：ln(xy)];22x-yxydx—xdyy=d(—)
10、;2d(—);yyx=d(arctan勺xdp^x=d(arctan乂)；yx+yxd(1lnx-yxdy-ydxd(1lnxy);=d(：ln);22d(：ln),xyx-y2x-y丄^—);o22/'x-y1=d(_arctan(x_y));2xy'X2-y2d(11)；xdx-ydyd(22)；222d(2xy(x-y)122xdx-ydy2；?=d(；arctan(xy));2卡y)21(x-y)第二种:特殊路径积分法(因为积分与路径无关)(x,y)u(x,y)=u(X0,y°)P(x,y)dxQ(x,y)dyu(X0』0)xy=u(X0,y°).P(x,y°)dx.Q(
11、x°,y)dyx0y0u第三种：不定积分法：由一=P(x,y)得u(x,y)二P(x,y)dxC(y).x对y求导得Q(x,y)U[,P(x,y)dx]C(y)求出C(y)积分后求出C(y)dydy(2)全微分方程的推广(约当因子法)假设P(x,y)dx•Q(x,y)dy=0不是全微分方程。不满足―Q-,dxdy但是存在R(x,y)使得R(x,y)P(x,y)dx-R(x,y)Q(x,y)dy=0为全微分方程,也即满足［RQI二［RP］,则R(x,y)称为约当因子，dxdy按全微分方程解法仍可求出R(x,y)P(x,y)dxR(x,y)Q(x,y)dy=du(x,y)通解u(x,
12、y)=C，也是原来方程的通健种情形，求约当是关键例题：1、可分离变量方程及其推广2Eg1：-(x4y1)dx解:令x4y1du4u21dudxC1x=[arctan2uC二丄arctan2(x4y1)C22eg2:求微分方程-y=x2■y2的通解.dxx业一ydC)解：方程两边除以x2，则得一^1C)2即卩=1(-)2xxdxx(注：不要和齐次方程凹=f(3)混淆)dxdx令「u晋=1u2,xdx1udu2=dx,arctanu=xC贝UarctanxCx(注：两个函数相除的导数
