考研高数精品笔记（注释）

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1、第一章函数、极限、连续第1节函数a)反函数和原函数关于y=x对称。b)只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。c)多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。d)2k个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。e)如果f(x)是周期函数，周期为T，则f(ax+b)也是周期函数，周期为

2、T/a

3、。f)基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g)一切初等函数在其定义域内都是连续的。第2节极

4、限a)左右极限存在且相等极限存在。b)如果函数在X0极限为A，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中。（等价无穷小）c)极限存在极限唯一。（极限唯一性）d)，且A>0，则在x的邻域内，f(x)>0。（保号性）e)函数f(x)在点x=x0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U，在U内f(x)有界。（有界性）f)当limf(x)=A，limg(x)=B，那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B

5、lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/Blimg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=Anlim(f(x)^g(x))=Ab（极限的四则运算）g)有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。h)=li.l=0，f(x)=o(g(x)).i.l=∞，f(x)是g(x)低阶.ii.0

6、inxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)1-cosxx2=》1-cosαxx2-1x=》-1αxtanx-xx-sinx特殊的，x→0时ax-1xlnac)只有因子才能进行等价无穷小的代换。d)要注重推广形式。例如【x→0时，xsinx】，如果当x→x0时，f(x)→0，那么将原式中x换成f(x)也成立。e)求极限的方法：i.利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。ii.抓头公式（处理多项式比值的极限）。1.抓小头公式。（x→0）2.抓大头公式。（x→∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】）iii

7、.两个准则：1.夹逼准则2.单调有界必有极限i.两个重要极限：1.=1（利用单位圆和夹逼准则进行证明）2.（利用单调有界准则进行证明）口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）ii.无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1.有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界量乘积为无穷小。2.12种等价无穷小的代换。iii.左右极限：求分段函数分段点的极限值。iv.利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。v.定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）vi.泰勒公式1.泰勒公式中系数表达式：fnx0n!x-x0n2.

8、当x0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mvii.洛必达法则使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。第一层次00∞∞第二层次0*∞：转换成00或∞∞∞-∞：通分化为00（常用换元的方法求解）第三层次1∞∞000使用eln进行转化。第1节连续与间断a)连续某点：极限值=函数值函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。闭区间：开区间连续切在端点连续b)间断第一类间断点（左右极限都存在）可去间断点：左右极限

9、相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。振荡间断点：因振荡而不存在。c)初等函数的连续性i.基本初等函数在相应的定义域内连续。ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。v.一切初等函数在相应定义区间内连续。d)闭区间连续函数的性质如果f(x)在[a,b]连续，则：1.f(x)在[a,b]有界。2.有最大最小值3.介值定理4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。

10、第一章一元函数微分学第1节导数与微分1