高数考研视频笔记.docx

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1、文登考研高等数学笔记研究对象：函数。研究方法：极限研究思想：以不变代替变，消除误差取极限研究内容：微积分：（一元函数微积分）通过空间解析几何转化为（多元函数微积分）{以及其实际应用}；应用：无穷级数和常微分方程；一元函数微积分：一元函数微分学{（函数、极限和连续）、（导数与微分）、通过中值定理4个这座桥实现（导数与微分的应用）}+积分学{（不定积分）、（定积分及反常积分）、（应用）}维数增加多元函数微积分：{微分学：（函数、极限和连续）、（偏导数，全微分）、（二元函数泰勒公式【未考过】）、（极值应用）}+积分学：{重积分（二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分）、（重积分应用）、（无穷区

2、域上的二重积分【可能在概率统计二维随机变量考】）}注：一元函数微积分与多元函数微积分学之间的联系与差别。课程讲解部分函数、极限、连续一、函数1.概念：x属于I，有f=f（x）对应法则后，y属于D；定义域、y=f（x），y=f（+）表示同一函数关系、由实际问题所建立的函数【重点】2.性质奇偶性：y=f(x),x属于（-t，t），偶函数图像关于y轴对称，y=f(x)=f(-x);奇函数图像关于原点对称，y=f（-x）=-f(x);注：1、f``(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]2、奇偶性在求导，积分中的应用周期性：存在T>0,f(x+T)=f(x),则f（

3、x）周期为T的周期函数注：周期性在求导函数特性以及积分中的应用。增减性：若x1f(x2)，单调减};注意大于等于，小于等于的情况注：1.函数的增减性与讨论的区间有关。2.利用导数的符号判定增减性（后讲）3.增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲）4.有界性，若存在f(x),对任意的x属于I，存在M>0,使得

4、f(x)

5、<=M,则f(x)在I上有界。有上界，f(x)<=M;有下界：f(x)>=-M5.单调增有上界，单调减有下界；有界与讨论的定义域区间有关，可与求函数的最大值和最小值，极大值、极小值相关联起来。3．函数的分类1.反函

6、数；y=f(x)—>x=f-1(y)存在性：为单调函数注：y=f(x)和x=f-1(y)是同一个图形，代表同一条曲线，y=f(x)和y=f-1(x)是关于一三象限角平分线对称的1.基本初等函数(*)[指数函数、对数函数、三角函数，反三角函数]要求必须要求对这积累函数的定义域、值域、特性要非常清楚。列：y=e1/x2arctan(x2+x+1)/(x-1)(x-3)的垂直渐近线有几条？解：垂直渐近线是无穷间断点对应的。有x—>定值时。Y—>无穷。这里需要注意的是：因为arctanx是基本初等函数有界的。没有无穷间断点。故这里只有一条垂直渐近线。2.复合函数；y=f(u),u=g(x),则y

7、=f[g(x)]是复合函数，并非任意两函数均可复合，且考研考将复合函数拆成多个函数，即：复合函数的求导。3.初等函数；经过有限次四则运算或者复合构成；4.参数方程x=x(t),y=y(t)；得出y=y(x)【2010考了参数方程求导】5.隐函数，F（x,y）=0；这里与微分方程可联系起来。6.分段函数【*】每年必考；包括4类：{考求导、积分、解微分方程}（1）分段定义的函数（2）y=

8、f(x)

9、等形式（3）y=max{f(x),g(x)};x属于[a,b]等分段定义形式（4）y=[f(x)]取整函数一、极限1.定义：数列极限、函数极限定义，看懂书中例题即可。{2000年之后没考过}注：ε

10、是任意的，σ、N存在、不唯一，σ=σ(ε),N=N(ε)..limn→∞Xn≠A等价于存在ε>0,对任意的N>0，可以找到某个n>N,使得

11、Xn-A

12、>=ε极限由变化过程【对自变量而言，N和σ】以及变化趋势【对函数而言ε】例如：limn→-∞x+1+x+1x2+sinx错解：消除无穷大因子；即可分子分母同除X2即可，结果为2.【但是结果是错的，因为没考虑变化过程，x

13、2）局部保号性；若limx-》X0f(x)=A>0(A<0),则一定存在X0的去心邻域，有f(x)>0【f(x)<0】；极限大于0，则函数大于0例如：设Y=f(x)在x=a附近连续，且limx->afx-f(a)(x-a)2=1,则（D）A．f’(a)不存在B．f’(a)存在，但不为0C．a为f（x）的极大值点D．a为f（x）的极小值点分析：limx->afx-f(a)(x-a)2=1>0，则一定存在a的去心邻域，在其内，有fx-f