【中国好笔记，考研圈出品】考研大神高数高分笔记总结

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1、一.函数的概念1.用变上、下限积分表示的函数(1)其中/(f)连续，则=/(X)⑵y=八口中©O02(兀)可导，/(0连续，则字二/[02(J]/；(J-/(兀)b；(兀)ax2.两个无穷小的比较设lim/(x)=0,limg(x)=O,且limg^=/g(x)(1)2=0,称于(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(%)],称g(x)是比/(兀)低阶的无穷小。(2)心0,称于(兀)与g&)是同阶无穷小。(3)/=1,称/(兀)与g(J是等价无穷小，记以/(x)〜g(x)3.常见的等价无穷小当兀T0时sinx-x,tanx~x,arcsinx〜

2、兀,arctanx〜兀1—cosx~,cx—l^x,ln(l+x)~x,(1+x)a-{-ax二.求极限的方法1.利用极限的四则运算和幕指数运算法则2.两个准则准则1.单调有界数列极限-定存在(1)若xnUm(〃为止整数)，则limxn=A存在，且A>mH->CO(2)若x?J+1>(斤为正整数)又xn

3、性质和等价无穷小代换5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)当xtO时，=l+x+—+A2!X3x5sinx=x+—+A3!5!cosx=l-—+—-A2!4!x2n+]严)+(-怜0(0ln(l+x)=x-—+———A+(-l)n+1—23nxvarctanx=xd——35-A+(-1严2n+1(1+沪=1+勿+如B+A+加j)M—S-i)]*+o(*)2!nl6.洛必达法则法则1.(—型)设(1)lim/(x)=0,limg(x)=0(2)兀变化过程中，广(x),g'(x)皆存在(3)吨A(或oo)则lim生=A(或oo)g⑴(注：如果l

4、im马斗不存在II不是无穷大量情形，则g⑴不能得出lim/纠不存在H不是无穷人量情形)若limg(x)=A,lim/?(%)=A,贝ijlim/(x)=A3.两个重要公式法则2.(二型)设(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo00(2)兀变化过程中，广⑴，g'G)皆存在(escX)(log。兀)=(lnx)（3）lim'（=A（或oo）gx）则lim§电=A（或oo）g⑴7.利用导数定义求极限基本公式：1曲/（心+心）一/（儿）=广（兀0）［如果山toAx存在］8.利用定积分定义求极限1nfkA基本公式lim-Y/—=ff（x）dx［如果存在］

5、宀诒5丿』三.函数的间断点的分类换数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设观是函数y=于（兀）的问断点。如果/&）在间断点兀。处的左、右极限都存在，则称观是/⑴的笫一类间断第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断常见的第二类问断点有无穷问断点和振荡间断点。四.闭区间上连续函数的性质在闭区间［d,b］上连续的函数/（x）,有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。处理1.（有界定理）如果函数/（兀）在闭区间卜上］上连续，则于（力必在［a,b］.上有界。定理2.（最大值和最小值定理）如果函数/（兀）在闭

6、区间［。,方］上连续，则在这个区间上一定存在最人值M和最小值加c其中最大值M和最小值加的定义如下：定义设/（x0）=M是区间［a,b］上某点心处的函数值，如果对于区间［a,切上的任一点兀，总有f（x）＜M,则称M为函数/（x）在肚对上的最大值。同样可以定义最小值加。定理3.（介值定理）如果函数/（X）在闭区间［a,b］上连续，且其最大值和最小值分别为M和加，则对于介于加和M之间的任何实数c,在［a,b］上至少存在一个使推论：如果函数/（兀）在闭区间［a,b］±连续,口/（a）与/0）异号，则在（a,b）内至少存在一个点使得这个推论也称为零点定理五.导数与微分

7、计算1.导数与微分表(c)=0d(c)=O(xa/=x"-1(a实常数)d(才axa[dx((sinx)=cosxdsinx=cosxdx(cosx)=-sinxclCOSX:=_sinxdxf(tanx)=sec2xdtanx==sec2xdxf(cotX)=-CSC2Xdcot兀=-esc2xdxf(secx)=secxtanxdsecx二=secxtanxdxQ实常数）=一escxcotxdescx=-escxcotxdx(a〉0,dH1)xlntzdlog“x=—(a>0,aH1)xadx=—dxXaj=aTna(a〉0,a工1)dax=ax

8、adx(a>0,a1)(arcsinx)17i-