考研高数精品笔记.docx

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1、第一章函數、極限、連續第1节函數a)反函數和原函數關於y=x對稱。b)只有定義域關於原點對稱の函數才能討論奇偶性。c)多個奇函數之和為奇函數；多個偶函數之和為偶函數。d)2k個奇函數の乘積是偶函數；2k+1個奇函數の乘積是偶函數；任意個偶函數の乘積還是偶函數。(k=0,1,2......)。e)如果f(x)是周期函數，周期為T，則f(ax+b)也是周期函數，周期為

2、T/a

3、。f)基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。初等函數即上述五大類函數，以及它們有限次の四則運算與複合而成の函數。g)一切初等函數在其定義

4、域內都是連續の。第2节極限a)左右極限存在且相等極限存在。b)如果函數在X0極限為A，則可以將函數改寫為f(X)=A+ɑ(x)，其中。（等價無窮小）c)極限存在極限唯一。（極限唯一性）d)，且A>0，則在xの鄰域內，f(x)>0。（保號性）e)函數f(x)在點x=x0存在極限，則存在該點の一個去心鄰域U，在U內f(x)有界。（有界性）f)當limf(x)=A，limg(x)=B，那麼lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g

5、(x))=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/Blimg(x)不等於0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=Anlim(f(x)^g(x))=Ab（極限の四則運算）a)有限個無窮小之和仍然是無窮小。有限個無窮小之積仍然是無窮小。無窮小和有界量乘積仍然是無窮小。b)=li.l=0，f(x)=o(g(x)).ii.l=∞，f(x)是g(x)低階.iii.0

6、)，則稱f(x)是g(x)のk階無窮小。c)等價無窮小代換：x→0時，xsinxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)1-cosxx2=》1-cosαxx2-1x=》-1αxtanx-xx-sinx特殊の，x→0時ax-1xlnad)只有因子才能進行等價無窮小の代換。e)要注重推廣形式。例如【x→0時，xsinx】，如果當x→x0時，f(x)→0，那麼將原式中x換成f(x)也成立。f)求極限の方法：i.利用函數の連續性（極限值等於函數值）。利用極限の四則運算性質。ii.抓頭公式（處理多項式比值の極限）。1.抓小頭公式

7、。（x→0）2.抓大頭公式。（x→∞）（分子分母同除最高次項）（極限為【最高次項の系數比】）ii.兩個准則：1.夾逼准則2.單調有界必有極限iii.兩個重要極限：1.=1（利用單位圓和夾逼准則進行證明）2.（利用單調有界准則進行證明）口訣：倒倒抄。（結合抓頭公式）iv.無窮小の運算性質、等價無窮小の代換1.有限個無窮小之和為無窮小。有限個無窮小之積為無窮小。無窮小與有界量乘積為無窮小。2.12種等價無窮小の代換。v.左右極限：求分段函數分段點の極限值。vi.利用導數の定義求極限。導數定義：增量比，取極限。構造出“增量比”の形式，則極限就

8、是導數。vii.定積分の定義求極限。（處理多項求和の形式）viii.泰勒公式1.泰勒公式中系數表達式：fnx0n!x-x0n2.當x0=0の時候，泰勒公式則稱為麥克勞林公式。常用の麥克勞林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mix.洛必達法則使用前提：（1）分子分母都趨向於0。（2）分子分母の極限都存在。（3）分子分母導數の比值為一個定值或為無窮。第一層次00∞∞第二層次0*∞：轉換成00或∞∞∞-∞：通分化為00（常用換元の方法求解）第三層次1∞∞000使用eln進行轉化。第1节連續與間斷a)連續某點：極限值=函數值函數

9、在該點連續開區間：在該區間中每個點都是連續の，則在開區間連續。閉區間：開區間連續切在端點連續b)間斷第一類間斷點（左右極限都存在）可去間斷點：左右極限相等跳躍間斷點：左右極限不相等第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）無窮間斷點：因趨於無窮而造成の不存在。振蕩間斷點：因振蕩而不存在。c)初等函數の連續性i.基本初等函數在相應の定義域內連續。ii.區間I上の連續函數做四則運算形成の新函數在I上仍然是連續函數。i.連續函數經過有限次の複合仍為連續函數。ii.原函數連續且單調，反函數必為連續且單調。iii.一切初等函數在相應定義區間內連續。

10、b)閉區間連續函數の性質如果f(x)在[a,b]連續，則：1.f(x)在[a,b]有界。2.有最大最小值3.介值定理4.零點定理：f(a)*f(b)<0，a、b之間必有零點。第一章一元函數微分學第1节導數與