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1、考研高等数学第一轮复习1.1.函数的性质1.1.1.单调性1.1.2.奇偶性a奇函数：f(x)=O-aaa偶函数：f(x)=2f(x)-a0奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数x'F(x)「°f(t)dt,F(x)二f(x)有：f(t)是奇函数二F(x)C是偶函数(C是任意实常数)f(t)是偶函数=F(x)C是奇函数(C=0)f(x)是奇函数，当x(0,：：),f'(x)0,f"(x)0(推出：f(x)在x0上是Exa:单调递增的，并且f'(x)是偶函数,x(0,二)上f'(x)单调增)所以
2、:x(」：,0)时f'(x)0,f''(x)<01.1.3.周期性定义方法：定义，间接发性质：倍，与起点无关anTaf(x)dx=00f(x)Tf(x)=2f(x)2a-FT证：af(x)dx=0f(x)dx穴，「、T令x_a=t,左式=f(t+a)d(t+a)x如果：函数f(x)周期为T,且F(x)f(t)dt那么：F(xT)=F(x)u:f(x)dx=OExa:若f(x，T)=f(x),是连续的奇函数。x问：Fx)=°f(t)dt是周期为T的函数吗?TT/2答：f(x)=f(x)=0=是』0・
3、-T/2设函数f(x)的周期是T:limxL:x0f(t)dtT0f(x)dxT一个周期函数在n个周期上面的积分=在一个周期上积分的n证明：(不能使用洛必达法则，使用夹逼准则)设：nTEx：：(n1)TnTx(n1)T0f(t)dtf(t)dtf(t)dt(n1)T一x一nTTxTn..of(t)dt”of(t)dt”「of(t)dtn1TxnTn1xr"',n—•,1•证毕n(sintdt231JIxsintdtExa1:lim—x1.1.4.有界性判断方法：定义，不等式放大与缩小间接法：函数的
4、有界性和单调性一样，需要相对某个区间而言，当然这个区间肯定是定义域的子集，函数的连续性也是一样，首先是某点连续，闭区间连续是指区间内的每点连续，端点处是左连续和右连续。连续的3要素;首先是该点必须要右定义，其次函数在该点的极限存在并且等于函数在该点的值f(x)在区间【a,b】上连续=f(x)在这个区间上有界f(x)在区间(a,b)上连续，函数f(x)在a点的右极限存在，b点的左极限存在=•f(x)在区间(a,b)上有界limf(x)二二二f(x)在含x0区间上无界JXo无穷大量和无界量的区别和联系
5、：1、区别：无穷量是特殊的函数，是一个变量，当自变量趋于某个数或者无穷大，极限趋于0或者无穷大，而无界量根据定义，无界即没有上界和下界，对于任何整数M，在定义域的某个定义区间，总存在x1,
6、f(x1)
7、>M。2、联系：3、例题：f(x)=xsinx,当Xr■时，f(x)是:A：：B.无界量C.有界量D.无穷小量解：对于函数f(x)=xsinx,由于sinx是周期函数，将之改写成：f(x)=(2n二)sin(2n二)三0,当n很大时，x也很大，但是f(x)趋于0若改写成：f(x)=(2n)sin(2
8、n)三2n'，当n很大时，222x也很大，但是f(x)趋于：：。选Bf(x)=xLsin(x「2)2,以下有界区间是:x(x—1)(x—2)A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)本题考查开区间的有界性。x(-1,0),f(x)=-sin(x「2)2(x-1)(x-2),连续,limf(x)=,limf(x)=X_；1亠18X—0--sin24x(0,1),f(x)二sin(x-2)(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)limf(x)=,limf(x)不存在X)0■4x：1—X
9、(1,2),f(x)二同理x(2,3),f(x)二sin(x-2)(x-1)(x-2)2sin(x-2)同理1.1.5.连续性与间断点g(x)二型,如果f(x)是奇函数，且f'(o)存在，问：xx=0是g(x)的那一类间断点？分析：xo是函数f(x)间断点的3个充分条件：1、X0没有定义。2、xo有定义，但是limf(x)不存在。^xo3、x0有定义，limf(x)存在，但是limf(x)"(x0)。判断类型：limf(x)、limf(x)存在，x谈0.jx°-如果：limf(x)=limf(x)
10、=x0为可去间断点(第一类)JX0一limf(x)=limf(x)=x0为跳跃间断点(第一类)x_x0■X_0--非第一类间断点即第二类间断点，有无穷间断点和震荡间断点解答：g(x)在x=0没有定义。Exa：limg(x)=lim°f(x^=li叫二f'(0)存在，所以x=0是g(x)的可去间断点。1.2.极限1.2.1.极限的定义0函数极限的定义：f(x)在U(x。)有定义，对一任意该定的正数0；，不管它有多小，总存在U(x0,：),使得If(x)-A
11、v;limf(x)=Ax%
