重积分例题教学文案.doc

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1、重积分例题__________________________________________________第10章重积分一、内容分析与教学建议重积分和定积分一样，都是来自实践中非均匀求和的需要，各种积分是不同维数空间的具体表现，因此教学中要从实例引出概念，且重点讲透二重积分概念和计算，避免平均使用力量（一）重积分概念及性质关于重积分的概念，可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例，在回顾定积分定义的基础上，通过分割、近似、求和、取极限来建立，至于性质的证明，可略讲。关于三重积分的概念和性质，和二重积分类似，教学上不必花较

2、多时间。（二）重积分的计算重积分一般都是化为累次积分来计算的，转化的关键是确定积分的上下限。对于二重积分，在推出直角坐标和极坐标的计算公式之后，应多举些例题，重点讲解画图，解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。____________________________________________________________________________________________________关于三重积分，这部分内容比较复杂，教学上应细致。计算方法有直角坐标、柱面坐标和球面坐标法。对于直角坐标，除

3、了讲解一般方法（先一后二法），还应介绍先二后一法。关于极坐标和球面坐标，首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲面的表示方法，然后在此基础上，结合几何意义，讲解定限及积分计算的具体方法。重积分的具体计算，通常要考虑到以下几个方面，选择合适的坐标系及恰当的积分顺序，确定积分的上下限，正确使用对称性（见附后），最后可通过一些综合例子，加强这方面理解和训练。（一）重积分应用首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法，其次要结合足够实例，使学生掌握用重积分来计算几何量（如面积体积等）及物理量（重心、转动惯量等）。附：二重积分的对

4、称性质一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下：结论1：如果积分区域关于对称，则结论2：如果积分区域关于轴对称，则____________________________________________________________________________________________________结论3：如果积分区域关于坐标原点对称，则其中结论4：如果积分区域关于直线对称，则三重积分的对称性，由教师自己给出。二、补充例题例1.利用二重积分性质，估计积分的值，其中是图形区域：__

5、__________________________________________________________________________________________________解法1.首先求在上的最小值和最大值由于，，令，得驻点，的边界，此时，，，解法2：由积分中值定理，在上至少，使其中，且（）例2求，其中解：如图，曲线把区域分为和，其中，；_______________________________________________________________________________

6、_____________________例3证明（连续）证：左端=，，作出积分域交换积分顺序，左端=右端，证毕！注：本题还可这样证明：令，证明例4设在区间上连续，且，试证明证：设平面区域，关于直线对称____________________________________________________________________________________________________例5计算，其中由，，围成。解：如图，作曲线，则积分区域被分为和，关于轴对称，关于轴对称。由于被积函数是的奇函数，故有，由

7、于的奇函数，故有例6计算，是由平面上曲线绕轴旋转所得平面，所围区域。解：旋转面方程为，积分区域注：本题若采用先一后二法，将较麻烦!例7设函数连续，，其中____________________________________________________________________________________________________，试求和解：在平面上投影为圆，于是当时有：当时有：且时，有，所以从而例5求曲面在点的切平面与曲面所围立体的体积解：不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面的一块，一个是切

8、平面的一块，首先确定立体在平面上投影区域由于切平面的法向量是，切平面方程：，即____________________________________________________________________________________________________从而切平面与曲面的交线是，消去，可得投影，注意到在上，，所以例5设半