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时间:2018-12-24
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1、重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念:其中:D:平面有界闭区域,:D中最大的小区域的直径(直径:小区域上任意两点间距离的最大值者),:D中第i个小区域的面积2、几何意义:当时,表示以曲面为曲顶,D为底的曲顶柱体的体积。所以表示区域D的面积。3、性质(与定积分类似)::线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理(03年)二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分(1)若D为X型积分区域:,则(2)若D为Y型积分区域:,则(3)D必须经过分割才能化为若干块X-型或者Y-型区域之
2、和,如图,则8(4)被积函数含有绝对值符号时,应将积分区域分割成几个子域,使被积函数在每个子域保持同一符号,以消除被积函数中的绝对值符号。oxyD1(5)对称性的应用oxyD1(6)积分顺序的合理选择:不仅涉及到计算繁简问题,而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分:一定要放在后面积分。例1.设为连续函数,交换二次积分的积分次序。例2(08年期末考试,二,7分)计算二重积分,其中是由所围成的区域。例3(07年期末考试,二、3,3分)交换积分次序后,例4(07年期末考试,三、7分)计算二重积分,其中是由所围成的区域。例5
3、(06年期末考试,一、5,3分)累次积分8例6(04年期末考试,一、3,3分)将积分交换积分次序后的结果为例7(03年期末考试,四、1,7分)计算二重积分,其中是由所围成的区域。例8.求积分的值。例9(考研题).若D是由所围成的平面有界闭区域,而是连续函数,则=;(注意对称性的应用:)例10、计算二重积分,其中D是第一象限中直线和曲线围成的区域。例11、用二重积分求由曲线,所围成的平面图形的面积。例12.利用二重积分计算由曲面,,,所围成的曲顶柱体的体积。2、在极坐标下计算二重积分(1)极坐标下区域D的面积为:(2)如果
4、被积函数为,或者积分区域为圆域、扇形域、圆环时,则可用极坐标。(3)若积分区域D为:,则θ(4)若积分区域D为:,则8(5)若积分区域D为:θ例1.计算二重积分,其中。例2、计算。例3、计算例4.(06年期末考试,六,8分)计算二重积分,其中积分域D为。例5(04年期末考试,四、1,7分)计算二重积分,其中是由所确定。三、三重积分的概念、性质1、三重积分的概念:其中::空间有界闭区域,:中最大的小区域的直径(直径:小区域上任意两点间距离的最大值者),:中第i个小区域的体积面积2、几何意义:表示空间闭区域的体积。3、性质(
5、与二重积分类似)::线性性、对积分区域的可加性、比较性质等四、三重积分的计算1、对称性的应用8(1)若积分区域关于xoy坐标面对称,则其中为在xoy坐标面的上半部分区域(2)若积分区域关于yoz,xoz坐标面同时对称,则其中为在第一、五卦限部分的区域(3)若积分区域关于三个坐标面都对称,则其中为在第一卦限部分的区域2、直角坐标系下三重积分的计算(1)投影法(先一后二法)例如,将空间闭区域投影到xoy面:则注意:投影到xoy面上,则最先对z积分。当然,也可以投影到yoz面上:8(2)截面法(先二后一法)例如把积分区域D先向
6、Z坐标轴投影:注意:Ø投影到z轴上,则最后对z积分。Ø当被积函数仅与变量z有关,且截面容易知道时,用上述公式简便Ø当然也可以投影到其他两个坐标轴上。3、柱坐标系下三重积分的计算(1)计算公式:例如将投影到xoy面上:,则(2)如果被积函数为,积分区域为圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面所围成时,则柱面坐标比较方便。4、球面坐标(1)计算公式:8(2)通常是先对r积分,再对积分,最后对积分。(3)当积分区域是球形或球的一部分,或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面,被积函数为时,则球面坐标比较方便。例1.化三重积分为累次
7、积分,其中积分区域为由曲面及所围。例2.设在上连续,证明:,其中所围成的空间区域。例3.计算,其中。例4(08年期末考试,三、7分)计算,其中是由所确定。例5(07年期末考试,四、7分)计算,其中是由柱面及平面围成的区域。例6(06年期末考试,七,8分)计算,式中为由所确定的固定的圆台体。例7(04年期末考试,二、4,3分)设是球心在原点,半径为R的球体,则例8(04年期末考试,四、2,7分)设为两球的公共部分,计算。例9(03年期末考试,四、2,7分)计算,其中是由不等式8所确定的闭区域。例10、求曲面及所围立体体积。
8、例11、计算,其中是由半圆柱面及平面围成的区域。例12.将三次积分表示为球面坐标下的三次积分,则=;例13.设是由所确定的立体,试将化成球面坐标下的三次积分。(。)例14、计算,其中积分区域是由与确定。五、重积分的应用1、几何应用——求曲面的面积2、物理应用——质量、质心、转动惯量、引力(掌握计算公式)例1、求曲面包
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