《重积分典型例题》word版

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1、重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：其中：D：平面有界闭区域，：D中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），：D中第i个小区域的面积2、几何意义：当时，表示以曲面为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积。所以表示区域D的面积。3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理（03年）二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1）若D为X型积分区域：，则（2）若D为Y型积分区域：，则（3）D必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之

2、和，如图，则8（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。oxyD1（5）对称性的应用oxyD1（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分：一定要放在后面积分。例1．设为连续函数，交换二次积分的积分次序。例2（08年期末考试，二，7分）计算二重积分，其中是由所围成的区域。例3（07年期末考试，二、3，3分）交换积分次序后，例4（07年期末考试，三、7分）计算二重积分，其中是由所围成的区域。例5

3、（06年期末考试，一、5，3分）累次积分8例6（04年期末考试，一、3，3分）将积分交换积分次序后的结果为例7（03年期末考试，四、1，7分）计算二重积分，其中是由所围成的区域。例8．求积分的值。例9（考研题）．若D是由所围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则＝；（注意对称性的应用：）例10、计算二重积分，其中D是第一象限中直线和曲线围成的区域。例11、用二重积分求由曲线，所围成的平面图形的面积。例12．利用二重积分计算由曲面，，，所围成的曲顶柱体的体积。2、在极坐标下计算二重积分（1）极坐标下区域D的面积为：（2）如果

4、被积函数为，或者积分区域为圆域、扇形域、圆环时，则可用极坐标。（3）若积分区域D为：，则θ（4）若积分区域D为：，则8（5）若积分区域D为：θ例1．计算二重积分，其中。例2、计算。例3、计算例4．（06年期末考试，六，8分）计算二重积分，其中积分域D为。例5（04年期末考试，四、1，7分）计算二重积分，其中是由所确定。三、三重积分的概念、性质1、三重积分的概念：其中：：空间有界闭区域，：中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），：中第i个小区域的体积面积2、几何意义：表示空间闭区域的体积。3、性质（

5、与二重积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质等四、三重积分的计算1、对称性的应用8（1）若积分区域关于xoy坐标面对称，则其中为在xoy坐标面的上半部分区域（2）若积分区域关于yoz，xoz坐标面同时对称，则其中为在第一、五卦限部分的区域（3）若积分区域关于三个坐标面都对称，则其中为在第一卦限部分的区域2、直角坐标系下三重积分的计算（1）投影法（先一后二法）例如，将空间闭区域投影到xoy面：则注意：投影到xoy面上，则最先对z积分。当然，也可以投影到yoz面上：8（2）截面法（先二后一法）例如把积分区域D先向

6、Z坐标轴投影：注意：Ø投影到z轴上，则最后对z积分。Ø当被积函数仅与变量z有关，且截面容易知道时，用上述公式简便Ø当然也可以投影到其他两个坐标轴上。3、柱坐标系下三重积分的计算（1）计算公式：例如将投影到xoy面上：，则（2）如果被积函数为，积分区域为圆柱面（或一部分）、锥面、抛物面所围成时，则柱面坐标比较方便。4、球面坐标（1）计算公式：8（2）通常是先对r积分，再对积分，最后对积分。（3）当积分区域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面，被积函数为时，则球面坐标比较方便。例1．化三重积分为累次

7、积分，其中积分区域为由曲面及所围。例2．设在上连续，证明：，其中所围成的空间区域。例3．计算，其中。例4（08年期末考试，三、7分）计算，其中是由所确定。例5（07年期末考试，四、7分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域。例6（06年期末考试，七，8分）计算，式中为由所确定的固定的圆台体。例7（04年期末考试，二、4，3分）设是球心在原点，半径为R的球体，则例8（04年期末考试，四、2，7分）设为两球的公共部分，计算。例9（03年期末考试，四、2，7分）计算，其中是由不等式8所确定的闭区域。例10、求曲面及所围立体体积。

8、例11、计算，其中是由半圆柱面及平面围成的区域。例12．将三次积分表示为球面坐标下的三次积分，则＝；例13．设是由所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分。（。）例14、计算，其中积分区域是由与确定。五、重积分的应用1、几何应用——求曲面的面积2、物理应用——质量、质心、转动惯量、引力（掌握计算公式）例1、求曲面包