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《定积分典型例题（word版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、定积分典型例题例1求．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．解法2本题也可直接用换元法求解．令=（），则====例3比较，，．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比
2、较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1在上，有．而令，则．当时，，在上单调递增，从而，可知在上，有．又，从而有．解法2在上，有．由泰勒中值定理得．注意到．因此．例4估计定积分的值．分析要估计定积分的值,关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解设,因为,令，求得驻点,而,,,故,从而,所以.例5设，在上连续，且，．求．解由于在上连续，则在上有最大值和最小值．由知，．又，则．由于，故=．例6求,为自然数．分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1利用积分中值定理设,显然在上连续,由积
3、分中值定理得,,当时,,而,故．解法2利用积分不等式因为,而,所以．例7求．解法1由积分中值定理可知=，．又且，故．解法2因为，故有．于是可得．又由于．因此=．例8设函数在上连续，在内可导，且．证明在内存在一点，使．分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件即可．证明由题设在上连续，由积分中值定理，可得，其中．于是由罗尔定理，存在，使得．证毕．例9（1）若，则=___；（2）若，求=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可．解（1）=；（2）由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，则可得=．例10设连续，且，则=_______
4、__．解对等式两边关于求导得，故，令得，所以．例11函数的单调递减开区间为_________．解，令得，解之得，即为所求．例12求的极值点．解由题意先求驻点．于是=．令=，得，．列表如下：-＋－故为的极大值点，为极小值点．例13已知两曲线与在点处的切线相同，其中，，试求该切线的方程并求极限．分析两曲线与在点处的切线相同，隐含条件，．解由已知条件得，且由两曲线在处切线斜率相同知．故所求切线方程为．而．例14求；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．解=====．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15试求正数与，使等式成立．分析易见该极限属于型的未定
5、式，可用洛必达法则．解==，由此可知必有，得．又由，得．即，为所求．例16设，，则当时，是的（）．A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．解法1由于．故是同阶但非等价的无穷小．选B．解法2将展成的幂级数，再逐项积分，得到，则．例17证明：若函数在区间上连续且单调增加，则有．证法1令=，当时，，则===．故单调增加．即，又，所以，其中．从而=．证毕．证法2由于单调增加，有，从而．即==．故．例18计算．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解＝＝＝．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可
6、积条件．如，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.例19计算．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数．解例20设是连续函数，且，则．分析本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．解因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．所以，即，从而，所以．例21设，，，求,并讨论的连续性．分析由于是分段函数,故对也要分段讨论．解（1）求的表达式．的定义域为．当时，,因此．当时，,因此,则==，故．(2)在及上连续,在处，由于,,．因此,在处连续,从而在上连续．错误解答（1）求的表达式,当时，．当时，有=．故由上可知．(2)在及上连续,在处，由于,,．
7、因此,在处不连续,从而在上不连续．错解分析上述解法虽然注意到了是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因为当时，中的积分变量的取值范围是，是分段函数，才正确．例22计算．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解=．由于是偶函数，而是奇函数，有,于是===由定积分的几何意义可知,故．例23计算．分析被积函数中含有及，考虑凑微分．解=====．例24计算．解=====．注此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25计算，其中．解=，令，则===．注若定积分中的被积函数含有，一般令或．例26计算，其中．解法1令，则
8、=．解法2令，则=．又令
