《重积分例题》PPT课件

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1、第十章重积分§10-1二重积分的概念与性质定义设是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点作乘积并作和如果当各个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分，记作即其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。例1．据二重积分的性质，比较下列积分的大小其中积分区域Ｄ是由圆周所围成。例２．利用二重积分的性质，估计积分的值，其中D是圆周所围成的闭区域。§10-2二重积分的计算法例1．

2、计算，其中D是由直线所围成的闭区域。例2．计算其中D是由直线所围成的闭区域。例３．计算其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。例４．求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。例５．计算其中D由围成。例６．改换积分的积分次序。例７．计算二重积分其中积分区域D是由确定。例８．计算例９．计算其中由及所围成的闭区域。定理设平面上的闭区域D上连续，变换将平面上的闭区域平面上的D，且满足上具有一阶连续偏导数；上雅可比式是一对一的，则有公式（8）称为二重积分的换元公式例10．求直线所围成的闭区域D的面积。例11．计算其中D是由中心在原点半径

3、为的圆周所围成的闭区域。例12．将化成极坐标形式下的二次积分。例13．求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。例14．设内连续，试将二重积分化成先对后对的积分，其中。例15．计算积分例16．计算为由不等式所围成的闭区域。§10-3三重积分定义设是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的体积，在每个上任取一点作乘积并作和如果当各小区域直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的三重积分，记作其中叫做体积元素。例1．计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭

4、区域。例2．计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。例3．计算其中是由锥面与平面所围成的闭区域。例4．计算下列三重积分例5．利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。例6．求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。例7．求其中闭区域由不等式确定。例8．计算其中为。例9.计算，其中由确定。§10-4重积分的应用例1．求半径为的球的表面积。例2．设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为h=36000km，运行的角速度与地球自转的角速度相同，试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6

5、400km）。例3．求位于两圆之间的均匀薄片的质心。例4．求均匀半球体的质心。例5．求半径为的均匀半圆薄片（面密度为常量），对于其直径边的转动惯量。例6．求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。例7．设物体占有空间闭区域它在点外的密度为，函数在上连续，求物体对于物体外一点处的单位质量的质点的引力。例8．设半径为R的物质球占有空间闭区域求它对位于处的单位质量的质点的引力。