《重积分计算》PPT课件

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1、第二节重积分的计算直角坐标系下计算二重积分举例小结xA(x)dV=A(x)dxx定积分中已知截面面积为A(x)的立体---元素法/微元法.aVb二重积分的计算1(D是矩形区域)y0xzyabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]z=f(x,y)y0xzyabcdDD是矩形区域[a,b;c,d]z=f(x,y)问题：Q(y)是什么图形？Q(y)=是曲边梯形。.二重积分的计算1(D是矩形区域).I0xzyyabcdD.Q(y)=I同理，也可以先对y积分..z=f(x,y)D是矩形区域[a,b;c,d]二重积分的计算1(D是矩形区域)二次积分二次积分如果积分区域为

2、：其中函数、在区间上连续.［X－型］积分区域的类型：如果积分区域为：［Y－型］0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd二重积分的计算2（D是曲线梯形区域）0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).y问题：Q(y)是什么图形？D:(y)x(y)cyd也是曲边梯形!.Q(y)=I=二重积分的计算2（D是曲线梯形区域）.0xzyx=(y)ycdD.D:(y)x(y)cyd.Q(y)=I=二重积分的计算2（D是曲线梯形区域）x=(y)z=f(x,y)D:x1(y)xx

3、2(y)cydI=0yxx2(y)x1(y)cdy二重积分计算的两种积分顺序D［Y－型］0yxcdyDx2(y)x1(y)I=二重积分计算的两种积分顺序.D:x1(y)xx2(y)cyd［Y－型］0yxcdyDD:y1(x)yy2(x)axb0yxI=aby1(x)y2(x)Dx2(y)x1(y)xI=二重积分计算的两种积分顺序.D:x1(y)xx2(y)cyd［Y－型］［X－型］0yx0yxcdyDI=aby1(x)y2(x)Dx2(y)x1(y)x二重积分计算的两种积分顺序.I=D:x1(y)xx2(y)cydD:y

4、1(x)yy2(x)axb［Y－型］［X－型］0yx0yxcdyDI=aby1(x)y2(x)Dx2(y)x1(y)x二重积分计算的两种积分顺序.I=D:x1(y)xx2(y)cydD:y1(x)yy2(x)axb［Y－型］［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.积分次序：先Y后X。Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.积分次序：先X后Y。若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则须进行分割.解：积分区域如图如果积分区域即是X-型又是Y-型的，则重积

5、分既可以转化为先对x后对y的，也可以转化为先y后x的二次积分（累次积分）解：积分区域如图解：原式0yx2a2aaD:解：0x2aD1D2....另：将积分换序.注：这种方法要求f(x,y)在D2上有定义甚至连续解：0yx113y=xx=y2D...例5、计算解：解：11y=x20yxD2先对y积分（从下到上）1画出区域D图形3先对x积分（从左到右）...y=x...用两种顺序计算x0zyab1D1（定积分三角代换）..瓦里斯公式=附：瓦里斯公式二重积分在直角坐标下的计算公式在积分中要正确选择积分次序与正确给出积分限，且定积分中的各种技巧在这里仍然适用。

6、本节小结［Y－型］［X－型］D:由四条直线:x=3，x=5,3x–2y+4=0,3x–2y+1=0共同围成的区域.oxy35583x–2y+4=03x–2y+1=0D.D1D2D3先对y积分【X-型】先对x积分【Y-型】（需分块）....练习一：将二重积分化成二次积分计算由围成.(1,1)如果先对y积分,无法进行因此先对x积分,二次积分中的第一次积分要易于计算，且最终形成只是关于第二个变量的函数。一、先对x积分yxoabDyxoabDyxoabD....(练习)将二重积分化成二次积分二、先对y积分yxoabyxoabyxoabDDD.....(练习)将二重

7、积分化成二次积分