《重积分计算法》PPT课件

《《重积分计算法》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法8.2二重积分的计算(1)积分区域为：其中函数X－型在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分有:＊先对y后对x的二次积分例解所围平面闭区域.两曲线的交点(2)积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即其中函数在区间上连续.先对x后对y的积分abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:但可作出适当选择.(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.例解1将D看成X型区域例解2将D

2、看成Y型区域D1D2第一种方法计算量小例siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:oxy例交换积分次序：解积分区域:原式=又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.解计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.练习例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方

3、程分别为及解求所围成的立体的体积.解(1)先去掉绝对值符号,如图例先对y积分简单D1D2D2解(2)仿照(1)的方法，同时充分利用可加性例先对y积分简单D1D2D2D1例求证左边的累次积分中,积分域可表为提示不能具体计算.所以,是y的抽象函数,证毕.先交换积分次序.练习计算二重积分其中解设二、利用极坐标系计算二重积分即也即极坐标系中的面积元素(1)积分区域D:θθ(2)积分区域D(曲边扇形):(3)积分区域D:θ解a例计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下解求反常积分例显然有又夹逼定理即所求反常积分解例写

4、出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式,在极坐标系下圆方程为直线方程为将直角坐标系下积分:化为极坐标系下的累次积分.oxy解练习原式=解计算所围成的平面闭区域.例及直线计算因被积函数D2例分析故的在积分域内变号.D1计算解积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习﹡三、二重积分的换元法设被积函数在区域D上连续,若变换满足如下条件:(1)一对一地变为D上的点;(2)有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式例解令则即故例解所围成的闭区域.其中D为椭圆作广义极坐标变换故换元公式仍成立,极坐标