《重积分的》PPT课件

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1、一、直角坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法第二节二重积分的计算方法第十章重积分设A(x)表示过点x任取子区间[x,x+dx][a,b].且垂直x轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，1.设积分区域D可用不等式组表示为≤≤≤≤如图所示，选x为积分变量，x[a,b]，一、直角坐标系中的累次积分法则曲顶柱体体积V的微元dV为式中面积函数A(x)是一个以区间[1(x),2(x)]为底边、以曲线z=f(x,y)(x是固定的)为曲边的曲边梯形，其面积可表示为将A(x)代入上式，则曲顶柱体的体积于是，二重积分公式称为先积y(也称内积分对y

2、)后积x(也称外积分对x)的累次积分公式.它通常也可写成这结果也适用于一般情形.2.设积分区域D可用不等式组表示为如右图，则≤≤≤≤首先在xy平面上画出所围成的区域D.若是先积y后积x时，得投影区间[a,b]，则把区域D投影到x轴上，在[a,b]上任意确定一个x，这时a就是对x积分(外积分)的下限，b就是对x积分(外积分)的上限；过x画一条与y轴平行的直线，假定它与区域D的边界曲线(x=a,x=b可以除外)的交点总是不超过两个(称这种区域为凸域).把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如下直观方法确定：且与边界曲线交点纵坐标分别为y=1

3、(x)和y=2(x)，如果2(x)≥1(x)，那么1(x)就对y积分(内积分)的下限，2(x)就是对y积分(内积分)的上限.类似地，先积x(内积分)后积y(外积分)时的定限方法如右图所示.如果区域不属于凸域，把D分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么D上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和.例1试将二重积分两种不同次序的累次积分，其中D是由x=a,x=b,y=c,y=d(a

4、x，y=2-x和x轴所围成的区域.解首先画出积分区域D如图，并求出边界曲线的交点(1,1)、(0,0)及(2,0).如果先积x后积y，则为其中D是抛物线y2=x与直线y=x-2所围成的区域.例3计算二重积分解画出积分区域D如图，并求出边界曲线的交点(1,-1)及(4,2)，由图可见，先积x(内积分)后积y(外积分)较为简便.由定限示意图有=例4计算其中D是由直线y=x,y=1与y轴所围成.解画出积分区域D，作定限示意图，并求出边界曲线的交点(1,1),(0,0)及(0,1)，则x=yDOx1y(1,1)即x=常数和y=常数，二、极坐标系中的累

5、次积分法在直角坐标系中，用平行于x轴和平行于y轴的两族直线，把区域D分割成许多子域.这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，绝大多数都是矩形域(如图).(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于0.所以不必考虑).于是，图中阴影所示的小矩形i的面积为因此，在直角坐标系中的面积元素可记为而二重积分可记为和r=常数的两族曲线，在极坐标系中，我们可用=常数和另一族圆心在极点的同心圆，即一族从极点发出的射线这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，把D分割成许多子域，绝大多数都是扇形域(如图).(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于0.所以不

6、必考虑).于是图中所示的子域的面积近似等于以rd为长，dr为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为于是二重积分的极坐标形式为再通过变换且边界方程为r=r()，如图，实际计算中，分两种情形来考虑:1)如果原点在积分域D内，则二重积分的累次积分为或写为r=r()xO,分别是对积分(外积分)的下限和上限，则从原点作两条射线=和=(≤)2)如果坐标原点不在积分域D内部，(如图)夹紧域D.在与之间作任一条射线与积分域D的边界交两点，它们的极径分别为r=r1()，r=r2()，假定r1()≤r2()，那么r1(

7、)与r2()分别是对r积分(内积分)下限与上限，即例5把化为极坐标系中的累次积分，其中D是由圆x2+y2=2Ry所围成的区域.并把D的边界曲线x2+y2=2Ry化为极坐标方程，作射线=0与=夹紧域D.解在极坐标系中画出区域D如图，即为r=2Rsin与域边界交两点r1=0，r2=2Rsin，在[0,]中任作射线Dr=2RsinOx得并把D的边界曲线化为极坐标方程，即为例6在极坐标系中，计算二重积分D是由x2+y2=R12和x2+y2=R22(R1

8、间任作一射线与域D的边界交两点r=R1和r=R2，如果积分域D是整个环形，显然有r=R1,r=R2,作两条射线=0与=夹紧积分域D.所以有