《重积分的概念》PPT课件

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1、第十章重积分§10.1二重积分的概念与性质1º二重积分的概念与背景问题一：曲顶柱体体积的计算设z=f(x,y)在D上连续,为顶的“曲顶柱体”V的体积计算以D为底,以曲面z=f(x,y)(1)划分:将曲顶柱体划分成n个小曲顶柱体:则有若记在xoy平面上的投影区域为则有(2)近似:当充分小时(此时也充分小)z=f(x,y)在Δσi上近似于不变(即近似于常数)(3)精确化:当时任取问题二：变密度平面薄片的质量计算设平面薄片D置于xoy平面上,形成一有界闭区域,在点(x,y)D处的密度函数为μ=μ(x,y),计算D的质量(1)划分:将D划分成n个子区域:若记的质量为

2、则有(2)近似:当充分小时μ=μ(x,y)在Δσi上近似于不变(即近似于常数)任取(3)精确化:当时定义:设z=f(x,y)在有界闭区域D上有定义,将D任意划分成n个除边界外没有公共部分的子区域Δσi(其面积也记Δσi),任取,作和式(积分和)记d(Δσi)为子区域Δσi的直径,若极限(其值A与划分无关,与(ξi,ηi)Δσi的选取无关)则称f(x,y)在D上可积;极限值A称为f(x,y)在D上的二重积分,记为,即f(x,y)称为被积函数;f(x,y)dσ称为被积表达式;x,y称为积分变量;D称为积分区域;dσ称为面积元素说明:(1)若f(x,y)在D上可积

3、,则积分和的极限与划分无关现如果用一组平行于坐标轴的直线划分D,则即dσ=dxdy(2)(3)二重积分值与积分变量名称无关(4)二重积分的几何意义:(a)若f(x,y)0,(x,y)D,则表示以D为底,曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(b)若f(x,y)0,(x,y)D,则f(x,y)0,(x,y)D即表示由D与z=f(x,y)所成曲顶柱体体积的负值(c)对于一般的函数f(x,y),表示这些部分区域上的曲顶柱体体积的代数和(xoy平面上方的取正值,xoy平面下方的取负值)2º二重积分的存在性与基本性质定理(二重积分的存在性)若z=f(x,

4、y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上可积二重积分的基本性质(1)线性运算性质设f,g在D上可积,则对任意实数k1,k2,k1f+k2g在D上也可积,且设f在D1,D2上可积(D1,D2除边界外无公共部分),则f在D=D1D2上可积,且(2)区域可加性(3)保序性设f在D上可积,且f(x,y)g(x,y),(x,y)D,则(4)估值定理设f在D上可积,且mf(x,y)M,(x,y)D,则(5)中值定理设f在有界闭区域D上连续,则存在(ξ,η)D使证明由f在有界闭区域D上连续,根据最值定理存在(ξ1,η1)D,(ξ2,η2)D使存在(ξ

5、,η)D使例估计积分的值,其中解先求在D上的最值稳定点:(0,0),且f(0,0)=9在上,又,所以