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1、第二十一章重积分§1二重积分的概念§2直角坐标系下的二重积分的计算§3格林公式曲线积分与路径无关的条件§4二重积分的变量变换（换元积分法）§5三重积分的概念§6重积分的应用§1二重积分的概念一、平面图形的面积二、问题的提出三、二重积分的定义四、二重积分存在的条件五、二重积分的性质一、平面图形的面积为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，Doxy设平面图形D有界,i则存在一个矩形R,使得为了考察D的面积，先用一组平行于坐标轴的直线网T分割D，如图T的网眼（小矩形）i可以分为三类：(1)i上的点
2、均是D内的点；(2)i上的点均是D的外点；(3)i上的点含有D的边界点。首先讨论平面有界图形的面积。Doxy(1)(1)(1)(1)(3)(3)(3)(3)(2)(2)(2)将属于直线网T的第(1)类小矩形的面积作和，记为将属于直线网T的第(1)类与第(3)类小矩形的面积作和，记为则有由确界原理可知：对于平面图形D的所有直线网的分割T，记为于是有(1)定义1则称D为可求面积，并将定理21.1.1证明过程完全类似于定积分.推论定理21.1.2定理21.1.3定理21.1.4柱体体积=底面积×高特
3、点：平顶柱体体积=？特点：曲顶1.曲顶柱体的体积二、问题的提出曲顶柱体曲顶柱体：以曲面∑：z=f(x,y)为顶，一般z=f(x,y)在D上连续。以平面有界区域D为底，侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。还有其他类型的柱面。步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，采用类似于求曲边梯形面积方法•Dz=f(x,y)yxz(1)分割(2)作近似(3)求和(4)取极限令将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近
4、似等于薄片总质量2、求平面薄片的质量设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定(x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？定义1设f(x,y)在有界闭域D上有界，若对于D的任意分割和在i上任意取(i,i)，作积、作和，存在，则称其为f(x,y)在D上的二重积分，记为三、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素分划细度若极限简单的说定义2设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭域D上的函数,J为一个常数,若>0,总>0
5、,使得对于D的任意分割T,当他的分割细度
6、
7、T
8、
9、<,属于T的所有积分和均有则称函数f(x,y)在D上可积,数J称为f(x,y)在D上的二重积分.积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素分划细度当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积;当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值.若位于xoy面上方柱体的体积为正值；位于xoy面下方柱体的体积为负值，二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。曲顶柱体体积平面薄片的质量对二重积分定义的说明：(1)二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取是
10、任意的。(2)二重积分的几何意义在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分在直角坐标系中可写为D则面积元素为积分变量二重积分的具体形式dxdy(3)与定积分相似,若函数f(x,y)在D上可积,可采用特殊的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重积分值.四、二重积分可积的条件什么样的函数可积?类似于定积分1必要条件属于分割T的上和属于分割T的下和定理21.2.52可积的充分条件上和、下和的性质类似于定积分于是有2可积的充要条件定理21.1.6定理21.1.7定理21.1.8定理
11、21.1.9〖证明〗见教材P215-216性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积,性质5若在D上特殊地则有性质1当k为常数时，性质2（二重积分与定积分有类似的性质）五、二重积分的性质性质6性质7（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解例1不作计算，估计在D上由性质6知区域D的面积,解例2解例3解例4二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积代数和）（和式的极限）小结（线性、区域可加性、估值不等式）
