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《高等数学《上》,重积分。黄金例题。》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高等数学第二学期提高复习题答案二、填空题x2（1）设f(,,)xyzeyz=，其中zzxy=(,)是由方程x+y++zxyz=0确定的隐函数，则f′(0,1,1)−=．x【解】填“1”．xx2f′′(,,)xyzeyzeyzzxy=+⋅2⋅(,)，xxfz′′(0,1,1)12(1)(0,1)12(0,1)−=+⋅−⋅=−z′．xxx又由10++zxyy′′(,)++zxyzxy(,)0=得z′(0,1)=0，所以f′(0,1,1)1−=．xxxx（2）设f(,)xy满足fxyyy′′(,)2=，且f(,0)1,xf=y′(,0)x=x，则f(,)xy=．
2、2【解】填“y++xy1”．由fxy′′(,)2=知f′(,)2xy=+yϕ()x．因为f′(,0)xx=ϕ()=x，得f′(,)2xy=+yx,所以yyyyy22f(,xy)=++yxyψ(x)．又fx(,0)1=，从而ψ()1x=，故f(,)xy=yxy++1．（3）设有曲面zxfyz=+(−)，其中f可导，则该曲面在任一点处的切平面与平面x++=yz1之间的夹角为．π【解】填“”．2曲面方程为Fxyzxfyzz(,,)=+(−−=)0，在任意一点(,,)xyz处的法向量可取gdnF1=={xyz′,,FF′′}{1,,1f′−−f′}．ggd而平面x
3、++=yz1在(,xyz,)处的法向量可取n={1,1,1}．由于2gdggdnn⋅=+−−=11f′f′0，12gdggdπ故nn⊥，即曲面在任一点处的切平面与平面x+yz+=1垂直，夹角为．122x+1（4）方程sin(xy)ln−=1所确定的曲线y=yx()在点x=0处的切线方程为．y【解】填“yeeex=+−(1)”．11当x=0时，ye=．在方程两边同时对x求导,得cos(xyy)(+xy′)−+=y′0，xy+1将x=0，y=e代入上式得ye′=−(1e)，故所求切线方程为y=eeex+−(1)．x=0y（5）设f(,)xy可微分，且满足f(,
4、xy+=)xy−，则dfxy(,)=．(1,0)x【解】填“dx−2dy”．⎧u⎧x+=yu,x=,⎪⎪⎪1+v11−vy−令⎨y则⎨代入原式并整理得fuvu(,)==,(,)fxyx．⎪=v,⎪y=uv,11+vy+⎩x⎪⎩1+v12−−yxfxy′′(,)==,fxy(,)，故ff′′(1,0)=1,(1,0)=−2，所以xy2xy1(++y1y)df(,)xyf=+=′′(1,0)dxf(1,0)dydx−2dy．(1,0)xy【注】一定要先找到f(,)xy的函数再求导2（6）设xyz++=lnz30，则dz=．(1,3,1)−1【解】填＂−+3dx
5、dy＂．21221在等式两边同时求全微分，得20xyzdxxzdyxydz+++=dz．z1再将点(1,3,1)−代入上式并整理得dz=−3dx+dy．(1,3,1)−2∂zz∂（7）设f,g均可微分，zfx=+[,lyxgxn()y]，则xy−=．∂x∂y【解】填“f′”．2∂z⎛⎞1∂z∂zz∂=⋅+⋅+f′′yfyg′，=f′′⋅+⋅xfxg′，所以x−yf=′．12⎜⎟122∂xx⎝⎠∂y∂∂xy2223（8）函数ux=+−3syxzyinz在点P(1,1,0)处沿各方向的方向导数中，最大的方向导数为．【解】填“46”．∂u2∂u22∂u23=+(
6、6xy2xz)=6，=−(3xyz3sin)=3，=(2xzy−=cos)z−1，∂xP∂yP∂zPPPP∂u222==gradu{}6,3,1−=6+3+(1)−=46．∂l最大值22223（9）函数uxyz=++32在点P(1,1,1)处沿vx=yz在点P处的梯度方向的方向导数为．0020【解】填“”．14233220⎧⎫123l==gradv{,yz2,xyz3}{xyz=1,2,3}，l==⎨⎬,,{cos,cos,cos}αβγ，P0P0141414⎩⎭∂∂uu∂u∂u12320=++cosαcosβγcos=×642+×+×=．∂∂lxyzPP
7、∂P∂141414140002222（10）设平面区域D为xy+≤16，则I=+∫∫xy−4dxdy=．D【解】填“116π”．2222记D为xy+≤4，D为41<+≤xy6．1222ππ24222222I=−−∫∫(4xydxdy)++−∫∫(xy4)dxdy=−∫∫00drθθ(4)rdr+−∫∫02d(r4)rdrDD12=+=8π108ππ116．22ππsiny（11）二次积分∫∫dxdy=．0xy【解】填“4”．22ππysinyysin2π原式==∫∫00[]dxdy∫0⋅ydx=∫0sinydy=4.yy22（12）设平面区域D由右半圆周x
8、=−Ry和y轴围成，则D的形心坐标为．4R【解】填“”．3πππR
