2021_2022学年高中数学第二章解三角形2三角形中的几何计算学案含解析北师大版必修5202103151223.doc

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1、高考§2　三角形中的几何计算关键能力·合作学习类型一求线段长度问题(直观想象)1.(2020·某某高一检测)已知△ABC中,AB=2,BC=3,CA=4,则BC边上的中线AM的长度为(　　)A.B.C.2D.2.在△ABC中,A=105°,B=30°,a=,则B的角平分线的长是(　　)A.B.2C.1D.3.如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长.【解析】1.选A.延长AM至D,使MD=AM,连接BD,CD,如图所示:由

2、题意知四边形ABDC是平行四边形,且满足AD2+BC2=2(AB2+AC2),高考即32+(2AM)2=2(22+42),解得AM=,所以BC边上的中线AM的长度为.2.选C.设B的角平分线的长为BD.易知∠ACB=180°-105°-30°=45°,∠BDC=180°-15°-45°=120°.在△CBD中,有=,可得BD=1.3.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,设BD=x,则有142=102+x2-2×10xcos60°,所以x2-10x-96

3、=0,所以x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.在△BCD中,由正弦定理知=,所以BC=·sin30°=8.1.三角形的高的计算公式在△ABC中,边BC,CA,AB对应的边长分别为a,b,c,边上的高分别记为ha,hb,hc,则ha=bsinC=csinB,hb=csinA=asinC,hc=asinB=bsinA.2.求线段长度问题的解题策略在平面几何中,求线段的长度往往归结为求三角形的边长,求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理,恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键.【

4、补偿训练】高考(2020·某某高一检测)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　　)A.4B.3C.2D.【解析】选A.在△ABC中,AB=2,C=,则△ABC外接圆直径2R==4,AC+BC=4sinB+4sinA=4sin+4sinA=4sin(A+θ),其中sinθ=,cosθ=,由于0

5、.【思路导引】作出图形,令∠DAC=θ,依题意可求得cosθ,sinθ,利用两角和的正弦即可求得答案.【解析】选C.设△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,作AD⊥BC于D,令∠DAC=θ,如图所示:高考在△ABC中,B=,AD⊥BC,则△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形,BC边上的高为AD=BC=,所以BD=AD=,CD=,在Rt△ACD中cosθ===,sinθ==,所以sin∠BAC=sin=sincosθ+cossinθ=.求解角的问题的一般思路先将问题转化到某个三角形中

6、,常涉及边、角及面积等问题,用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解.(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B等于(　　)A.B.C.D.(2)如图,在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD=BD,BC=2BD,则sinC的值是. 【解析】(1)选A.根据正弦定理知asinBcosC+csinBcosA=b等价于sinAcosC+sinCcosA=,即sin(A+C)=.高考因为a>b,所以A+C=,所以B=.(2

7、)设AB=x,则AD=x,BD=x,BC=x.在△ABD中,由余弦定理得cosA==,则sinA=.在△ABC中,由正弦定理得==,解得sinC=.答案:类型三平面几何中的面积及最值问题(数学运算、逻辑推理)角度1　三角形面积求解问题 【典例】(2020·启东高一检测)在△ABC中,AB=1,AC=,BC=2,D为△ABC所在平面内一点,且=2+,则△BCD的面积为(　　)A.2B.C.D.【思路导引】由题意作图得矩形,利用三角形面积公式求解即可.【解析】选D.由题可作如图所示的矩形,则易知∠B

8、CA=,则∠BCD=,则sin∠BCD=,所以S△BCD=×BC×DC×sin∠BCD=×2×3×=.高考(2020·某某高一检测)在△ABC中,已知A=60°,b=16,S△ABC=220,那么a等于(　　)A.20B.41C.49D.51【解析】选C.由于A=60°,b=16,S△ABC=220,则S△ABC=bcsinA=220,解得c=55.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=2041,解得a=49或a=-49(舍去).角度2　三角形面积最值问题 【典例】已知△