2021届新高考地区专用数学二轮必刷题24空间向量及其应用（解析版）.docx

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1、专题24空间向量及其应用 1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，点P是正方形CC1D1D的中心．（1）证明：AP∥平面EFG；（2）若平面AD1E和平面EFG的交线为l，求二面角A﹣l﹣G．【解析】解：（1）证明：连接D1C，AC，∵点E，F，G分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，∴EG∥D1C，又D1C⊄平面EFG，EG⊂平面EFG，∴D1C∥平面EFG，同理，AC平面EFG，又D1C∩AC＝C，D1C⊂平面ACD1，AC⊂平

2、面ACD1，∴平面ACD1∥平面EFG，∵点P是正方形CC1D1D的中心，∴AP⊂平面ACD1，∴AP∥平面EFG；48/48（2）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），E（2，1，2），D1（0，0，2），故AE→=(0，1，2)，D1E→=(2，1，0)，设平面AD1E的法向量为n→=(x，y，z)，由n→⋅AE→=0n→⋅D1E→=0，可得y+2z=02x+y=0，令x＝1，则n→=(1，-2，1)，取平面EFG的法向量为m→=(1，1，1)，则m→⋅n→=0，∴二面角A

3、﹣l﹣G的大小为π2． 2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形ABB1A1是矩形，四边形BCC1B1是菱形，O为BC的中点，且AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，∠B1BC＝60°．（1）求证：B1C⊥平面ABC1；（2）求直线CC1与平面AB1O所成角的正弦值．【解析】解：（1）因为，∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，因为四边形ABB1A1是矩形，所以AB⊥BB1，48/48又BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1．因为B1C⊂平

4、面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又四边形BCC1B1是菱形，所以BC1⊥CB1，因为AB⊂平面ABC1，B1C⊂平面ABC1，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1．（2）因为四边形BCC1B1是菱形，∠B1BC＝60°，O为BC的中点，所以B1O⊥BC，由（l）知AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1O，又BC∩AB＝B，所以B1O⊥平面ABC，又B1O⊂平面AB1O，所以平面AB1O⊥平面ABC，过点B作BH⊥AO于点H，则BH⊥平面AB1O，连接B1H，则∠BB1H即直线CC1与平面AB1O

5、所成的角，在直角△ABO中，易得BH=22，又B1B＝2，所以sin∠BB1H=24，所以直线CC1与平面AB1O所成角的正弦值为24． 3．已知如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC＝23，现将菱形ABCD沿对角线AC翻折，使B翻折至点B'．48/48（1）求证：AC⊥B'D；（2）若B'D＝1，且点E为线段B'D的中点，求CE与平面AB'D夹角的正弦值．【解析】（1）证明：如图所示，取AC的中点为O，连结OD，OB′，∵AB′＝B′C，AD＝CD，∴B′O⊥AC，DO⊥AC，又B′O∩DO＝O，∴

6、AC⊥平面B′OD，∵B′D⊂平面B′ED，∴AC⊥B′D．（2）解：以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过O作平面ACD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，在等腰△B′AC中，B′O＝1，同理DO＝1，∵B′D＝1，A（-3，0，0），D（0，1，0），B′（0，12，32），C（3，0，0），E（0，34，34），∴AD→=（3，1，0），B'D→=（0，12，-32），CE→=（-3，34，34），设平面B′AD的一个法向量为n→=（x，y，z），则n→⋅AD→=0n→⋅B'D→=0，即3x+y=0

7、12y-32z=0，取z＝1，得n→=（﹣1，3，1），∴cos＜n→，CE→＞=n→⋅CE→

8、n→

9、

10、CE→

11、=3+334+345×152=45．设CE与平面AB'D夹角为θ，则sinθ＝

12、cos＜n→，CE→＞

13、=45．∴CE与平面AB'D夹角的正弦值为45．48/48 4．如图1，在△MBC中，MA是BC边上的高，MA＝3，AC＝4．如图2，将△MBC沿MA进行翻折，使得二面角B﹣MA﹣C为90°，再过点B作BD∥AC，连接AD，CD，MD，且AD＝23，∠CAD＝30°．（1）求证：CD⊥平面M

14、AD；（2）在线段MD上取一点E使

15、ME→

16、

17、MD→

18、=13，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值．【解析】（1）证明：由图1可知，MA⊥AC，MA⊥AB，∴∠BAC为二面角B﹣MA﹣C的平面角，即∠BAC＝90°，∵AB∩AC＝A，AB、AC⊂平面ABC，∴MA⊥平面ABC，∴MA⊥CD．在△ACD中，由余弦定理知，CD2＝AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠CAD＝16+12﹣2×4×23cos30°＝4，∴CD＝2，由于AC2＝CD2