2021届新高考地区专用数学二轮必刷题24空间向量及其应用（原卷版）.docx

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1、专题24空间向量及其应用 1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F、G分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，点P是正方形CC1D1D的中心．（1）证明：AP∥平面EFG；（2）若平面AD1E和平面EFG的交线为l，求二面角A﹣l﹣G．2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形ABB1A1是矩形，四边形BCC1B1是菱形，O为BC的中点，且AB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，∠B1BC＝60°．（1）求证：B1C⊥平面ABC1；（2）求直线CC1与平面AB1O所成角的正弦值．3．已知如图，菱形ABCD的

2、边长为2，对角线AC＝23，现将菱形ABCD沿对角线AC翻折，使B翻折至点B'．（1）求证：AC⊥B'D；（2）若B'D＝1，且点E为线段B'D的中点，求CE与平面AB'D夹角的正弦值．11/114．如图1，在△MBC中，MA是BC边上的高，MA＝3，AC＝4．如图2，将△MBC沿MA进行翻折，使得二面角B﹣MA﹣C为90°，再过点B作BD∥AC，连接AD，CD，MD，且AD＝23，∠CAD＝30°．（1）求证：CD⊥平面MAD；（2）在线段MD上取一点E使

3、ME→

4、

5、MD→

6、=13，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值．5．如图，四边形A

7、BCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点．（1）证明：DF∥平面PBE；（2）求直线PD与平面PBE所成角的正弦值．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，PA＝AB=2，AD＝2BC＝2，M是PD的中点．（1）求证：CM∥平面PAB；（2）求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．11/117．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F为PC上靠近P的三等分点．（1）求二面角F﹣AE﹣P的

8、余弦值；（2）设点G在PB上，且PGPB=23．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．8．如图，四棱锥D﹣ABCM的底面为等腰梯形，MC∥AB，AM＝MC＝CB＝1，AB＝DB＝2，侧面△DAM为正三角形．（Ⅰ）求证：BM⊥平面DAM；（Ⅱ）在线段BD上存在一点E，满足BEBD=λ，求λ值使得平面EMC与平面ABCM和平面DMC所成二面角相等．9．如图①四边形ABCD为矩形，E、F分别为AD、BC边的三等分点，其中AB＝AE＝CF＝1，BF＝2，以EF为折痕把四边形ABFE折起如图②，使面ABFE⊥面EFCD．（1）证明：图②中CD⊥B

9、D；11/11（2）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．10．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4．（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D1的余弦值．11．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB＝AA1＝4，F为BC的中点．点E在棱C1C上，且C1E＝3EC．（Ⅰ）求证：直线B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．12．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为CC1的中点，AB＝2．（1）求证：平面AD

10、B1⊥平面ABB1A1；（2）若直线AB1与平面A1B1C1所成角为60°，求二面角B1﹣AD﹣C1的余弦值．11/1113．在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是AB的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．（1）求证：FO1∥平面ADE；（2）设BC＝1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A﹣FB﹣C的余弦值．14．如图，在多面体PABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，∠BAD＝90°，∠PAD＝120°，BC＝1，AB＝AD＝PA＝2．（1）求平面PBC与平面PAD所成二面角

11、的正弦值；（2）若E是棱PB的中点，求证：对于棱CD上任意一点F，EF与PD都不平行．15．如图，组合体由半个圆锥S﹣O和一个三棱锥S﹣ACD构成，其中O是圆锥S﹣O底面圆心，B是圆弧AC上一点，满足∠BOC是锐角，AC＝CD＝DA＝2．（1）在平面SAB内过点B作BP∥平面SCD交SA于点P，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）在（1）中，若P是SA中点，且SO=3，求直线BP与平面SAD所成角的正弦值．11/1116．在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB=12BA，PB＝PC，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°．（1）证明：

12、平面PAD⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD夹角的正弦值．17．如图，四边形ABCD为平行四边形，且AB＝BD＝2，点E，F为平面ABCD外两点，EF∥AC且EF＝AC