2016年宁夏自主招生数学模拟试题：柯西不等式.docx

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1、优选2016年自主招生数学模拟试题:柯西不等式【试题容来自于相关和学校提供】1：已知a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn（n是正整数），令L1=b1+b2+…+bn，L2=b2+b3+…+bn，…，Ln=bn、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+…+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+…+ckLk+…+…+Ln，则ck=(   )（2≤k≤n）。A、ak-ak﹣1B、ak+ak﹣1C、an﹣1﹣an﹣2D、an﹣1+an﹣22：已知a＞b＞0，且m=a+。求得m的最小值是（）A、1     10/10优选B、2      C、3      D、43：已知大于1的正数

2、满足求++的最小值（）A、10B、2C、D、94：若，则的最大值为（）A、B、2C、3D、10/10优选5：若0＜x1＜x2, 0＜y1＜y2，且x1＋x2=y1＋y2=1，则下列代数式中值最大的是（   ）A、x1y1＋x2y2B、x1x2＋y1y2C、x1y2＋x2y1D、6：（1）已知实数满足，则的最小值为           。(2)在极坐标系中，曲线与 的交点的极坐标为           。7：已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________。8：若实数a，b，c，d满足，，则a的最大值为           。9：已知，，，，则的最

3、大值为       。10：设都为正数，且，则的最小值是     .11：如图，两县城A和B相距20km，O为AB的中点，现要在以O为圆心、20km为半径的圆弧上选择一点P建造垃圾处理厂，其中。已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A和城B的影响度之和。统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9。记垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，设AP=xkm，  （I）写出x关于的函数关系，并求该函数的定义域和值域；（II）当x为多少km时，

4、总影响度最小？12：（本题12分）已知实数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d=3，a2＋2b2＋3c2＋6d2=5，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）.13：已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.14：已知函数f(x)＝m－

5、x－2

6、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]。(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.15：已知10/10优选，且，求的最小值。答案部分1、A因为已知恒等式a1b1+a2b2+…+anbn=a1L1+c2L2+c3L3+…+ckLk+…+…+Ln且L1=b1+b2+…+bn，L2=b2+b3+…+bn，…，Ln=bn、又由图中的面积

7、S=a1b1+a2b2+…+anbn=a1（b1+b2+b3+…+bn）+（a2﹣a1）（b2+b3+…+bn）+…+（an﹣1﹣an﹣2）（bn﹣1+bn）+（an﹣an﹣1）bn=a1L1+（a2﹣a1）L2+…+（an﹣1﹣an﹣2）Ln﹣1+（an﹣an﹣1）Ln所以ck=ak﹣ak﹣1。故选：A、2、C∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，m=a+=（a﹣b）+b+=3。10/10优选（当且仅当a﹣b=b=，即b=1，a=2时取“=”号），∴m的最小值3。故选:C、3、C由柯西不等式得：得：故选：C、4、D(柯西不等式法），，因此的最大值为。故选：D、5、A试题分析：依题意取x1=，x

8、2=，y1=，y2=。计算x1y1＋x2y2=，x1x2＋y1y2=，x1y2＋x2y1=，故选A。考点：本题主要考查不等式的性质，选择题的灵活解法。点评：简单题，本题可利用“特殊值法”解答，体现选择题解法的灵活性。6、（1）。2;（2）。试题分析：（1）由柯西不等式得：，即，所以的最小值为2.（2）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为，联立10/10优选，所以交点的极坐标方程为。考点：柯西不等式；极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线的极坐标方程。点评：本题直接考查柯西不等式和极坐标方程与直角坐标方程的互化，我们要熟记它们的互化公式。属于基础题型。7、12∵a＋2b＋3c＝6，

9、∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当，即a＝2，b＝1，c＝时取等号。8、2试题分析：由柯西不等式可得：，所以由条件可得：，解得，a的最大值是2.考点：柯西不等式9、3略10、由柯西不等式，得，所以.11、（I）（II）10/10优选10/10优选12、（Ⅰ）应用柯西不等式，。（Ⅱ）由（Ⅰ）得（3－a）2＜5－a2，推出。试题分析：（Ⅰ）（