柯西不等式试题.doc

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1、柯西不等式试题一、选择题（本大题共4小题）设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)A．1B．C．3D．9已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为(　　)A．1B．2C．－1D．不确定若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为(　　)A．3B．1C．D．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1.则＋＋的最小值为(　　)A．24B．30C．36D．48二、填空题（本大题共2小题）(2013·湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋

2、3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.三、解答题（本大题共4小题）已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2取

3、到最小值．△ABC的三边长a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2＋b2＋c2)(＋＋)≥36R2.4柯西不等式试题答案解析一、选择题【解析】　由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.故选B.【答案】　B【解析】　∵(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1.当且仅当ai＝xi＝(i＝1,2，…，n)时等号成立．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值

4、是1.故选A．【答案】　A【解析】　∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式，(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)∴a2＋b2＋c2≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．∴的最小值为.【答案】　D【解析】　(x＋y＋z)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝36.∴＋＋≥36.【答案】　C二、填空题【解析】　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2

5、≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．【答案】　12【解析】　由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，4当且仅当＝＝＝k时取“＝”．由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝.所以＝k＝.【答案】　一、解答题【解】　由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2，∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立

6、．故x2＋4y2＋z2的最小值为.【证明】　由于f(x)＝ax2＋bx＋c.且a，b，c大于0.∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)≥(x1·x2＋·＋c)2＝(ax1x2＋b＋c)2＝[f()]2＝[f(1)]2.又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，∴f(x1)·f(x2)≥1.【解】　由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(2－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1×(y－1)＋2×(2－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝9，即(y－1)2＋(x＋y－

7、2)2＋(2x＋y－6)2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝时，上式取等号．4∴当x＝，y＝时(y－1)2＋(x＋y－2)2＋(2x＋y－6)2取到最小值．【证明】　由三角形中的正弦定理得：sinA＝，所以＝，同理＝，＝，于是由柯西不等式可得左边＝(a2＋b2＋c2)(＋＋)≥(a·＋b·＋c·)2＝36R2，∴原不等式得证．4