柯西不等式试题.docx

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1、柯西不等式试题一、(本大共4小)1.设a,b,c∈R,且a+b+c=1,a+b+c的最大是()+A.1B.3C.3D.92.222222已知a1+a2+⋯+an=1,x1+x2+⋯+xn=1,a1x1+a2x2+⋯+anxn的最大()A.1B.2C.-1D.不确定3.若数a,b,c均大于0,且a+b+c=3,a2+b2+c2的最小()3A.3B.1C.3D.31494.已知x,y,z均大于0,且x+y+z=1.则x+y+z的最小()A.24B.30C.36D.48二、填空(本大共2小)5.(2013·湖南高考)已知a,b,c∈R,

2、a+2b+3c=6,a2+4b2+9c2的最小________.6.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,a+b+cx+y+z=________.三、解答(本大共4小)7.已知数x,y,z足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小.8.已知f()=ax2++c的所有系数均正数,且a++=1,求:于任何正数x1,2,xbxbcx当x1·x2=1,必有f(x1)·f(x2)≥1.9.求数x,y的使得(y-1)2+(x+y-2)2+(2x+y-6)2取到最小.

3、10.△ABC的三a,b,c,其外接半径R.求证:(a2+b2+c2)(12+12+12)≥36R2.sinAsinBsinC柯西不等式试题答案解析一、11.【解析】由柯西不等式得[(a)2+(b)2+(c)2](12+12+12)≥(a+b+c)2,∴(a+b+c)2≤3×1=3.1当且当a=b=c=3等号成立.∴+b+c的最大3.故B.a【答案】B12.【解析】∵2222222(a1x1+a2x2+⋯+ax)≤(a1+a2+⋯+a)(x1+x2+⋯+x)=1×1=1.nnnnn当且当ai=xi=n(i=1,2,⋯,n)等号成立

4、.∴a1x1+a2x2+⋯+anxn的最大是1.故A.【答案】A13.【解析】∵a+b+c=1·a+1·b+1·c,且a,b,c大于0.由柯西不等式,(1·a+1·b+1·c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)∴a2+b2+c2≥3,当且当a=b=c=1等号成立.∴a2+b2+c2的最小3.【答案】D14914.【解析】(x+y+z)(x+y+z)≥(x·1+y·2+z·3)2=36.xyz149∴x+y+z≥36.【答案】C二、填空15.【解析】∵+2+3=6,∴1×+1×2+1×3=6.abcabc222222222

5、2111∴(a+4b+9c)(1+1+1)≥(a+2b+3c),即a+4b+9c≥12.当且当a=2b=3c,即2a=2,b=1,c=3时取等号.【答案】1216.【解析】由柯西不等式知:25×36=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,abc当且仅当x=y=z=k时取“=”.由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得a+b+c5所以=k=.x+y+z65k=6.【答案】三、解答题5617.【解】由柯西不等式得(x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2,∵x+2

6、y+z=1,2222221∴3(x+4y+z)≥1,即x+4y+z≥3.当且仅当x=2==1,即x=1,=1,=1时等yz33yz36号成立.故x2+4y2+z2的最小值为1.318.【证明】由于f(x)=ax2+bx+c.且a,b,c大于0.∴f(x1)·f(x2)=(ax21+bx1+c)(ax22+bx2+c)≥(ax1·ax2+bx1·bx2+c)2=(ax1x2+bx1x2+c)2=[f(x1x2)]2=[f(1)]2.又f(1)=a+b+c,且a+b+c=1,∴f(x1)·f(x2)≥1.18.【解】由柯西不等式,得(

7、12+22+12)×[(y-1)2+(2-x-y)2+(2x+y-6)2]≥[1×(y-1)+2×(2-x-y)+1×(2x+y-6)]2=9,即(y-1)2+(x+y-2)2+(2x+y-6)2≥3,2y-12-x-y2x+y-6当且仅当1=2=1,51即x=,y=时,上式取等号.22∴当x=5,y=1时(y-1)2+(x+y-2)2+(2x+y-6)2取到最小值.2220.【证明】由三角形中的正弦定理得:a14R2sinA=2R,所以sin2A=a2,14R214R2同理sin2B=b2,sin2C=c2,于是由柯西不等式可得

8、左边=(222)(4R24R24R2a+b+ca2+2+c2)b≥(·2R·2R2R22++c·)=36R,aabbc∴原不等式得证.

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