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《高等数学-第1章函数与极限-1-3极限存在准则.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.5极限存在准则两个重要极限教学目的：知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。教学重点：极限存在准则,两个重要极限教学内容：1.4.1极限存在准则1夹逼准则定理1.4.1若数列xn，yn和zn满足(1)xnynzn,nN0;(2)limxnlimznann则limyna。n证明因limxna，则0，N1，nN1时有xna，即naxna(1.4.1)又limzna，对上述，N2，nN2时有zna，即nazna(1.4.2)取Nmax{N0,N1,N2}，nN时(1.4.1)式与(1.4.2)式同时成立。又nN0时,xnyn
2、zn，于是nN时axnynzna即yna从而limyna.n例1证明a0时，limna1n证明a1时，设na1rn，rn0(n1,2,L)。由二项式定理有，a(1rn)n1nrnn(n1)rn2Lrnn1nrn2于是0rnan又lima0nn因此，由夹逼准则，limrn0.于是nlimna1n34a1时，11，由上述结果有，limn11，因此，analimnalim11nn1naa1时，结论显然成立，综上所述，a0时，limna1。n1例2求lim(a1na2nLamn)nmax{a1n,a2n,L,amn}，其中ai0(i1,2,Lm)n解设a
3、max{a1,a2,L,an}，于是aa1na2nLannanm由例1可知，limnm1，利用夹逼准则，得n1lim(ananLan)namax{an,an,L,an}.n12m12m设limg(x)limh(x)A00定理1.4.2，且，xU(x0,)，有xx0xx0g(x)f(x)h(x)，则limf(x)A.xx0例3证明limcosx1x0xx2x2x2证明因01cosx2sin22，而lim0.222x02由定理1.4.2，limcosx1。x02单调有界准则定理1.4.3单调有界数列必有极限。定理1.4.4若函数f(x)在(a,)内单
4、调增加（减少）且有上界（下界），则limf(x)存x在；若存在0，x(x0,x0)时，函数f(x)内单调增加（减少）且有上界（下界），则limf(x)存在.xx0例4设x110，x6x(n1,2,L)，证明数列{xn}收敛，并求它的极限.n1n证明由x110，x26x16104知，x1x2.设对某个自然数k有xkxk1，则有xk16xk6xk1xk2由数学归纳法知，对一切自然数n都有，xnxn1，即数列{xn}单调减少。又35xn0(n1,2,L)，因此数列{xn}有下界。由极限存在准则，数列{xn}收敛。设limxna，n对xn16xn两边取极
5、限，得a6a解此方程，得a3，a2，但因xn0，所以limxn3.n3海涅定理定理1.4.5(海涅定理)极限limf(x)存在且等于A的充分必要条件是对于任意收敛于x0的xx0数列｛xn｝（xnx0），恒有limf(xn)An利用海涅定理证明函数极限不存在。只要找出两个数列{xn}，{yn}都收敛于x0，且xnx0，ynx0（nN），但{f(xn)}，{f(yn)}收敛于不同的极限，或其中一个不收敛。例5证明limsin1不存在。x0x取xn11，limxnlimyn0，且xn0，yn0，而证明，ynn2nnn2limsin1limsinn0，l
6、imsin1limsin1，故limsin1不存在(如图1.4.2)。nxnnnyn2x0xn4.柯西存在准则定理1.4.6数列{xn}收敛的充分必要条件是0，存在自然数N，使得mnN时，有xnxmD1.4.2两个重要极限Bsinx1x1lim1OAx0xC证明如图,在单位圆内，设圆心角AOBx0x，比较AOB，扇形2SAOB和AOC的面积的大小，得sinxxtanx36即cosxsinx(1.4.3)x1由于cosx、sinx都为偶函数，所以(1.4.3)式对于x0也成立.x2因limcosx1，所以由夹逼准则，limsinx1.x0x0x2l
7、im(11)xexx证明先证明lim(11)nenn记xn(11)n，下面证明数列{xn}单调有界。n由na1a2Lana1a2Lan（ai0,i1,2,L,n）得n1)n11n(111n1xnn1n1xn1(1)n1n1n因此，数列{xn}单调增加。由二项式定理得，0x(11)n11n(n1)(1)2n(n1)(n2)(1)3Ln!(1)nnn2!n3!nn!n1111L12!3!n!1111L13132222n12n1数列{xn}有界。因此，数列{xn}收敛，记lim(11)ne，它是一个无理数。nn下面证明lim(11)xexx1[x]x[
8、x]1x1时，有[x]x[x]1，于是111111[x]x[x][x]1[x]1而lim1lim11lim1e1x[x]x[x]x[x]
