高等数学1-3函数的极限

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1、二、函数极限的性质一、函数极限的定义函数的极限1一、函数极限的定义如果当x无限地接近于x0时函数f(x)的值无限地接近于常数A则常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记作函数极限的通俗定义1.自变量趋于有限值时函数的极限分析:当xx0时f(x)A当

2、x-x0

3、0时

4、f(x)-A

5、0当

6、x-x0

7、变得足够小时

8、f(x)-A

9、能小于任意给定的正数e注:当xx0时xx0.2设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当x满足不等式0

10、<

11、xx0

12、时对应的函数值f(x)都满足不等式

13、f(x)A

14、那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记为函数极限的精确定义当xx0时f(x)A当

15、x-x0

16、0时

17、f(x)-A

18、0当

19、x-x0

20、变得足够小时

21、f(x)-A

22、能小于任意给定的正数e注:当xx0时xx0.3定义的简记形式e>0d>0当0<

23、x-x0

24、

25、f(x)-A

26、

27、

28、xx0

29、时对应的函数值f(x)都满足不等式

30、f(x)A

31、那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记为函数极限的精确定义注:d与e有关,但不唯一.确定d时,d越小越合适.4分析

32、f(x)A

33、

34、(2x1)1

35、2

36、x1

37、例1因为0证明

38、f(x)A

39、

40、(2x1)1

41、2

42、x1

43、ee>0当0

44、x1

45、时有/2只要

46、x1

47、

48、f(x)A

49、0d>0当0<

50、x-x0

51、

52、f(x)-A

53、

54、.确定d时,d越小越合适.5注:d与e有关,但不唯一.确定d时,d越小越合适.例2证明分析:当0<

55、x-1

56、0d>0当0<

57、x-x0

58、

59、f(x)-A

60、

61、x-1

62、0d>0当0<

63、x-x0

64、

65、f(x)-A

66、0d>0当0<

67、x-x0

68、

69、f(x)-A

70、

71、越小越合适.有因此因可设即要只要取当时,8注:单侧极限若当xx0-时f(x)无限接近于某常数A则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限记为或f(x0)=A.xx0表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0,xx0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0.e0d0当x0dxx0有

72、f(x)A

73、0d>0当0<

74、x-x0

75、

76、f(x)-A

77、

78、f(x)A

79、

80、义若当xx0-时f(x)无限接近于某常数A则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限记为或f(x0)=A.e>0d>0当0<

81、x-x0

82、

83、f(x)-A

84、

85、x

86、无限增大时f(x)无限接近于某一常数A则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为2.自变量趋于无穷大时函数的极限0M0当

87、x

88、M时有

89、f(x)A

90、精确定义结论12例4证明证明则当时,有0M0当

91、x

92、M时有

93、f(x

94、)A

95、注:M与e有关,但不唯一.确定M时,M越大越合适.13例5证明证明有因此0M0当

96、x

97、M时有

98、f(x)A

99、注:M与e有关,但不唯一.确定M时,M越大越合适.14二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0)那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0)如果当xx0时f(x)的极限存在,

100、那么这极限是唯一的如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且f(x)A(xx0)那么A0(或A0)推论15作业习题1.2(P44):7.(1)(5)(9)8.(2)(6)13.16