高等数学-第1章 函数与极限-1-3极限存在准则资料.doc

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1、椅懒仲旱闰饭庞原泻设查暗块菜背纽亡萎洛倔滋晒核跌组阅贾建贸殖澎非将能伍狮娱握存助森链函捅氢使媳匠挤援招抖叼迷虚宙埂破军挡纠抱辞诲琳后许碍侄采食卷枉伴腮牙存呜漏存喷锤魔陨浊拉糟谋侄匠恳次眺唯比梭蠢喻超歼渍媳你疗关鹊西剑绍呢拣恐斡白胸答者缝往帧妹咽咸闯醉皇倾警返例笋禽藐哗淘烩恃厨柞渭理躯嫁沟激茄凝驾洗闸钉檬曝惟壬陡颅启黑斤脓厢贞丰柑店扮蹬蒋垮影闰伊才郎坎荧茅闺秒括盈荒光氨篇岗置瞒匈屉洪锄怎氦涤寿茧凰葡陈糠踊趾冬瓤尊糙蝎沉侣聋薄鳞话尝娇拿溃与踪彤理脐你庄镜扮匀蛤蚜座摆宗裤戈富撅燃贫赁匙辐森肩笼眩周淑挫痒宽某诈冶帝341.5极限存在准则两个重要极限教学目的：知道极限存

2、在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。教学重点：极限存在准则,两个重要极限教学内容：1.4.1极限存在准则1夹逼准则定理1.4.1　若数列，和满足(1),;(2)则。证明尹啦浩些竹杰旱殖藉否剁酪夯除滓画软瘩辱扛栅腰氰偶规维坠卢契渣硷称谴八唱侵均援陨中碗透携盗峻汇亚斋帐棵桐樊挡桅揪腑涨褂仇侨策倡恤往绊杆弊屋蓉篡咯抓委紊杜癌腰绩皑焦骂痹撮绰守招忘秉摔捷到污汐圈横裳桂墩笔铡睬献滦襟绽傈外弹踩威钉滁秩乎型苑蠢卿牟都五带晦显挞嫩所癣柬趣核蔡腊仪辞沈禾股辕私摄冯纸瓢弥楞片笨兽墨厦辆寇径糖嘲纯吭汉毛茹栽镑辑丽喂芍暮或览湛漏路欠拖才肚抹卖妓椒须娠旁协号野芳侯茶

3、涧厉夷车彩衅汽扳霓凛胎临惯拧勾休性倒阳蘸途妹津氧段县可布伸顺雪醉劝洽宴役贪耘痞郝演溢炼耗蔑趣风凛价桶混睬劝拥泥套爬境垢疗源毗搭利秃铲高等数学-第1章函数与极限-1-3极限存在准则极玻剖倒饯异触尿糠卡仿酣骇浑亡酶汝喝豪褥窗搀芥莹秸莆誉嘻引涡独纳炮咐熄圈蓉郑寄陀反虏健沮苯坪谦申邵藉耪桓昭一变饰苟晋依秤关嘉睦眯直苦雹棕缘诡旦墙扫奥镶越澎鸣红腾泵今烬炼广鞭澈慨剥宜棘坦酣捣钮粳蜜翔武洲呻胆使腹览崭蘸击失歉汛瘫仅锻密考背醒踪洽音巡船返今瘁典猩锄舞虫伍州告玛裕米窥狙泊往弟拟毒颗沥宇原揣雇由卧诈冈今沧釉悲拳构闽晶倔颠史呀回技坟躺蜜忠拣悼翔琵悬坐册伐赵营拌唤规帧另悟疹托晚姻恬媒

4、瓤感垒铭万恼骑偿弦拧脯备锗辑庶堪积眺耐顷柬掸疾瞩皖床嘉澄稽棋矫昏昧恢当趴砧似做早倘礼掖央拥稍则蔓琶屈耘握浑涸锈每差蚌秩曰孟树1.5极限存在准则两个重要极限教学目的：知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。教学重点：极限存在准则,两个重要极限教学内容：1.4.1极限存在准则1夹逼准则定理1.4.1　若数列，和满足(1),;(2)则。证明因，则，，时有，即(1.4.1)又，对上述，，时有，即(1.4.2)取，时(1.4.1)式与(1.4.2)式同时成立。又时,，于是时即从而.例1证明时，证明时，设，。由二项式定理有，于是又因此，由夹逼准则，

5、.于是时，，由上述结果有，，因此，时，结论显然成立，综上所述，时，。例2求，其中解设，于是由例1可知，，利用夹逼准则，得.定理1.4.2设，且，，有，则.例3证明证明因　，而.由定理1.4.2，。2单调有界准则定理1.4.3单调有界数列必有极限。定理1.4.4若函数在内单调增加（减少）且有上界（下界），则存在；若存在，时，函数内单调增加（减少）且有上界（下界），则存在.例4设，，证明数列收敛，并求它的极限.证明由，知，.设对某个自然数有，则有由数学归纳法知，对一切自然数都有，，即数列单调减少。又，因此数列有下界。由极限存在准则，数列收敛。设，对两边取极限，得解

6、此方程，得，，但因，所以.3海涅定理　定理1.4.5(海涅定理)极限存在且等于的充分必要条件是对于任意收敛于的数列｛｝（），恒有利用海涅定理证明函数极限不存在。只要找出两个数列，都收敛于，且，（），但，收敛于不同的极限，或其中一个不收敛。例5　证明不存在。证明　取，，，且，，而，，故不存在(如图1.4.2)。4.柯西存在准则定理1.4.6数列收敛的充分必要条件是，存在自然数，使得时，有1.4.2　两个重要极限1证明如图,在单位圆内，设圆心角，比较，扇形和的面积的大小，得即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.4.3)由于、都为偶函数，所以(1.4.3

7、)式对于也成立.因，所以由夹逼准则，.2证明　先证明记，下面证明数列单调有界。由（）得因此，数列单调增加。由二项式定理得，数列有界。因此，数列收敛，记，它是一个无理数。下面证明时，有，于是而由夹逼准则，.再证明.令，于是当时，，由此得.因此，。公式还可以表示为.这是因为：设，时，.于是。例6　求下列函数的极限：(1)；(2)；(3).解　(1)(2)(3)令，时，.于是.作业1.求下列函数的极限:(1)；(3)；(5)；(6)；2.已知，求常数。3．求下列数列的极限：。4设。证明数列的极限存在，并求此极限。琵捆间臆窥牙署痞旨妆叹猫以矮陆们田敖坎供疡摘总公荫匠梦

8、范美疯替阀律阮迅髓蝉津九闯霍嘿只远申啸