高等数学_极限存在准则，两个重要极限.ppt

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1、二、两个重要极限一、极限存在的两个准则第五节极限存在准则与两个重要极限第二章准则1(夹逼准则)证由条件(2),当时,当时,如果数列满足一、极限存在的两个准则令则当时,有由条件(1)，得即故注1°利用夹逼准则求数列极限的关键：构造yn,zn.②要求：①yn,zn的极限易求；例1证明证而因为由夹逼准则，得准则Ⅰ(2)设函数f(x),g(x),h(x)满足:1°数列极限的夹逼准则可以推广到函数的极限：求极限解即而所以例1-1例2解=∴由夹逼准则，得同理，由夹逼准则得例1-4解单调有界数列必有极限.准则Ⅱ(单调有界准则)如果数列满足(证明略)(单调增加有上界)(单调减少有下界)证例31°单调性假

2、定:，则∴2°有界性学会用数学归纳法证明{xn}的单调性和有界性.(舍去)例4思考题问：下列推导是否正确？解答：不正确.事实上，注意：一定圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证故只需证△AOB的面积＜＜△AOC的面积(利用准则Ⅰ)因为取倒数得当时,例5解注由复合函数求极限法则，可知例5-1求解例5-2求解令则因此原式例5-3求解原式=例5-4已知圆内接正n边形面积为证明:证注注意利用例5-5解使用n次倍角公式后例5-6解证明思路:（分四步）1°（单调有界准则）2°(利用1°及夹逼准则)3°（作变换：t=-x)4°（极限存在的充要条件）.注∴1°2°由复合函数求极限法则，可知3°可以证明：或

3、例6求解则注若利用则原式令例6-1解并且有例6-2解例6-3解例6-4解例7解原式例7-1解原式∵∴v(x)求极限例7-2解例7-3求解原式=变成形式的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列且使法2找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则2.两个重要极限或注代表相同的表达式思考题问：下列推导是否正确？解答：不正确.事实上，注意：一定2.命题(减少)()注可根据此命题，推测再证之.易证，用倒推法：+推测：但需证之.推测：但需证之.假设：+<04.填空题:求极限解即而所以备用题例1-1例1-2解因即而

4、所以一般地，有例1-3解由于而由夹逼准则可知设,且求例3-1分析易知{xn}的单调性如何？≤0？关键：？证1°有界性易知关键：？2°单调性或则得即例3-2设证显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法超越数e在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！e在自然科学中的应

5、用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5^4=39.0625乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所

6、含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。利用二项式公式,有证1°（单调有界准则）第二个重要极限证明大大正比较可知大又根据准则Ⅱ可知数列记此极限为e,可以证明：e为无理数,其值为即有极限.2°需证：∵∴即即∴由夹逼准则，得3°需证：4°由极限存在的充要条件：得