高等数学-第1章函数与极限-1-3极限存在准则

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1、1.5极限存在准则两个重要极限教学目的：知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。教学重点：极限存在准则,两个重要极限教学内容：1.4.1极限存在准则1夹逼准则定理1.4.1　若数列，和满足(1),;(2)则。证明因，则，，时有，即(1.4.1)又，对上述，，时有，即(1.4.2)取，时(1.4.1)式与(1.4.2)式同时成立。又时,，于是时即从而.例1证明时，证明时，设，。由二项式定理有，于是又因此，由夹逼准则，.于是39时，，由上述结果有，，因此，时，结论显然成立，综上所述，时，。例2求，其中解设，于是由例1可知，，利用夹逼准则，得.定理1.4.2

2、设，且，，有，则.例3证明证明因　，而.由定理1.4.2，。2单调有界准则定理1.4.3单调有界数列必有极限。定理1.4.4若函数在内单调增加（减少）且有上界（下界），则存在；若存在，时，函数内单调增加（减少）且有上界（下界），则存在.例4设，，证明数列收敛，并求它的极限.证明由，知，.设对某个自然数有，则有由数学归纳法知，对一切自然数都有，，即数列单调减少。又39，因此数列有下界。由极限存在准则，数列收敛。设，对两边取极限，得解此方程，得，，但因，所以.3海涅定理　定理1.4.5(海涅定理)极限存在且等于的充分必要条件是对于任意收敛于的数列｛｝（），恒有利用海涅定理证明函数

3、极限不存在。只要找出两个数列，都收敛于，且，（），但，收敛于不同的极限，或其中一个不收敛。例5　证明不存在。证明　取，，，且，，而，，故不存在(如图1.4.2)。4.柯西存在准则定理1.4.6数列收敛的充分必要条件是，存在自然数，使得时，有1.4.2　两个重要极限1证明如图,在单位圆内，设圆心角，比较，扇形和的面积的大小，得39即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1.4.3)由于、都为偶函数，所以(1.4.3)式对于也成立.因，所以由夹逼准则，.2证明　先证明记，下面证明数列单调有界。由（）得因此，数列单调增加。由二项式定理得，数列有界。因此，数列收敛，记，它是一个

4、无理数。下面证明时，有，于是而39由夹逼准则，.再证明.令，于是当时，，由此得.因此，。公式还可以表示为.这是因为：设，时，.于是。例6　求下列函数的极限：(1)；(2)；(3).解　(1)(2)(3)令，时，.于是.作业1.求下列函数的极限:39(1)；(3)；(5)；(6)；2.已知，求常数。3．求下列数列的极限：。4设。证明数列的极限存在，并求此极限。39