高等数学函数极限

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1、第一章函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。第一节函数的概念一、几个基本概念1常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个

2、过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a、b、c……等表示常量，用小写字母x、y、z、……表示变量。例如：圆周率是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。注意：1常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了；2从几何意义上来表示，常量对应数轴上的

3、定点，变量对应数轴上的动点。2集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：开区间：=；闭区间：；左半开区间（或右半闭区间）；右半开区间（或左半闭区间）；上述四个区间的长度都是有限长的，因此把它们统称为有限区间。无穷区间有：；；；；。如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集：R——

4、实数集；Q——有理数集；Z——整数集；N——自然数集。有时为了讨论数轴上某点附近的性质，为此引入邻域的概念。定义1设是一个实数，是正数（通常是指很小的数），数轴上到点的距离小于的点的全体，称为点的—邻域，记为。即：=数集称为点的去心—邻域。记为二、函数的概念定义2设x,y是两个变量，是上的非空数集，对任意的，通过某一个确定对应关系（或对应法则），在实数集上有唯一的一个与之对应，则称是从到上的一个函数（也称为定义在D上的函数），记为：：，简记为：通常把称为自变量，称为因变量（或x的函数），的取值范围称为函数的定义域

5、（就是本定义中的）。一般情况下，用Df表示函数的定义域。当取时，按照对应法则有与之相对应，并称其为函数在点x0处的函数值；当在区域上取遍时，所对应的函数值的全体称为函数的值域，记为Rf。即对于函数概念，以下几点是值得注意的：1以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的，它指的是单值函数；2函数的实质是对应关系（或对应法则），只要两个变量之间能找到一种对应，我们就说它们之间确定了一个函数；3确定函数有两个要素，这就是：定义域与对应关系；4函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数都有意义

6、的公共范围内进行。有关函数的相等、函数的定义域、值域；函数的四则运算等概念在中学数学课本中已有介绍，这里就不再复述了。下面我们来看几个具体的例子：例1由关系式能确定两个变量x与y之间的一种对应关系，可以说是一个函数关系，但它不是我们所指的函数。比如x=0时，相应的y可以等于1，也可以等于-1。其实它们是这样两段函数，这类函数我们称为多值函数。例2函数的定义区域为R，值区域为，它称为绝对值函数，其图像如图1-1。通常这类函数称为分段函数。所谓分段函数是指：函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同，它实质上是一个函数

7、，不能理解为两个或多个函数。例3函数称为符号函数，这也是分段函数，记为，它的定义区域Df=，值域Rf=，它的图形如图1-2所示。对任何实数都有下列关系式：成立，所以它起着一个符号的作用。图1-2xy1-10xy图1-1例4狄立克莱函数（它的定义区域是Df=，值域是Rf=。三、函数的表示法1解析法（公式法）：把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要的时候还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称之为解析法。这在高等数学中是最常见的函数表示法，它便于我们进行的理论研究。如：例1，例2等。2表格法：就是

8、把自变量和因变量的对应值用表格形式列出。这种表示法有较强的实用价值，比如三角函数表、常用对数表等等。3图示法：用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应关系的方法。比如，气象台自动温度计记录了某地区的一昼夜气温的变化情况，这条曲线在直角坐标系下反映出来的就是一个函数关系。这种方法，几何直观性强，函数的基本性态一目了然，看图就基本上都知道了，但它不利于理论研究。四、函数