高等数学函数与极限

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1、高等数学函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）第二节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数无穷小函数无穷大○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设为有界函数，为无穷小，则（定理四）在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大【题型示例】计算：（或）1．∵≤∴函数在的任一去心邻域内是有界的；（∵≤，∴函数在上有界；）2．即函数是时的无穷小；（即函数是时的无穷小；）3．由定理可知（）第三节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二

2、）乘除法则关于多项式、商式的极限运算设：则有（特别地，当（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值【求解示例】解：因为，从而可得，所以原式其中为函数的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数是定义域上的连续函数，那么，【题型示例】求值：【求解示例】第一节极限存在准则及两个重要极限○夹逼准则（★★★）第一个重要极限：∵，∴（特别地，）○单调有界收敛准则（★★★）第二个重要极限：（一般地，，其中）【题型示例】求值：

3、【求解示例】第一节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．2．（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：【求解示例】第二节函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（★）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？【求解示例】1．∵2．由连续函数定义∴第一节闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程至少有一个根介于与之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数在闭区间上连续；2．∵（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即（）4．这等式说明方程在开区

4、间内至少有一个根导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（★★）【题型示例】已知函数，在处可导，求，【求解示例】1．∵，2．由函数可导定义∴【题型示例】求在处的切线与法线方程（或：过图像上点处的切线与法线方程）【求解示例】1．，2．切线方程：法线方程：第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：特别地，当时，有2．函数积的求导法则（定理二）：3．函数商的求导法则（定理三）：第一节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数的导数【求解示例】由题可得为直接函数，

5、其在定于域上单调、可导，且；∴○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设，求【求解示例】第二节高阶导数○（或）（★）【题型示例】求函数的阶导数【求解示例】，，……第三节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对求导）（★★★）【题型示例】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程与法线方程【求解示例】由两边对求导即化简得∴∴切线方程：法线方程：○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程，求【求解示例】1.2.第一节变化率问题举例及相关变化率第二节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）中值定理与导数的应用第三节中值定理○引理（费马

6、引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数在上连续，在上可导，试证明：，使得成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导；2．又∵即3．∴由罗尔定理知，使得成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当时，【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数，则对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又∵，∴，化简得，即证得：当时，【题型示例】证明不等式：当时，【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数，则对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2．由拉格朗日中值定理

7、可得，使得等式成立，化简得，又∵，∴，∴，即证得：当时，第一节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（）且满足条件，则进行运算：（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：【求解示例】（一般地，，其中）⑵型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：【求解示例】⑶型（对数求极限法）【题型示例】求值：【求解示例】⑷型（对数求极限法）【题型

8、示例】求值：【求解示例】⑸型（对数求极限法）【题型示