高等数学——函数与极限

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1、《高等数学》教案第一章：函数与极限（18课时）第一节：映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)2)元素与集合的关系：，一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无

2、限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。全集I：AiI（I=1，2，3，……..）。空集：。2、集合的运算并集：交集：差集：补集（余集）：I＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：结合律：，分配律：，对偶律：(笛卡儿积：A×B3、区间和邻域1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。2）无限区间：（），，，，。3）邻域：注：a邻域的中心，邻域的

3、半径；去心邻域记为。二、映射映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作其中称为元素的像，并记作，即。注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。三、函数1、函数的概念定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，记为。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与

4、区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点(关于原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成立：)3、函数与复合函数1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称。2）复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数f（x）=若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则f（x）=f1[（x+a-）]+f1[（x+a+）]-f1（a）4、初等函数1）幂函数：2)指数

5、函数：3)对数函数：4)三角函数：5)反三角函数：，以上五种函数为基本初等函数。6）双曲函数：，，注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式：7）反双曲函数：例1已知分段函数1）求其定义域并作图；2）求函数值例2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x2,y=arctanu2,u=tanv,v=a2+x2.例3求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0x〈），作业：见课后各章节练习。第二节：数列的极限教学目的与要求：理解极限的概念，性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。

6、一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：缩写为例1数列是这样一个数列，其中，也可写为：可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。1、限的定义，则称数列的极限为，记成也可等价表述：1）2）。极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1如果数列收敛，那么它的极限是唯一。定理2如果数列收敛，那么数列一定有界。定理3如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，。例2证明数列的极限是1。例3

7、作出数列图形，讨论其极限值。作业：见课后各章节练习。第三节：函数的极限教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。一、极限的定义1、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值有一个总趋势——以某个实数为极限，则记为：。形式定义为：2、的极限设，如果当时函数值有一个总趋势--该曲线有一条水平渐近线--则称函数在无限远点有极限。记为

8、：。在无穷远点的左右极限：，关系为：二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系例1讨论函数在x的极限。例2求下面函数极限：，。作业：见课后各章节练习。第四节：无穷小与无穷大教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。一、无穷小定义定义对一个数列，如果成立如下的命题：则称它