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1、§2行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质二、行列式按任一行（列）展开1定义3设一、行列式的基本性质性质1.行列式与它的转置行列式相等,即2因为性质2.互换两行(列),行列式改变符号.註：由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.所以3註:换行:换列:即例如:4又如:推论1.若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则证明:当第一行元素全为0时,即由行列式定义知D=0;5若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=0.证毕.6推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有性质3.若行列式
2、中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即78证明:当i=1时，由行列式的定义知9当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．10推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即11(第j行)推论20.(第i行)也就是12性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变,即13又注意:註:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化
3、成上三角(或下三角)行列式来计算.14例1.计算解:D1516例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得1718例3.计算n阶行列式解:此行列式的特点是各行n个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:1920引理一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都为零，那末此行列式等于与它的代数余子式的乘积，即二、行列式按任一行(列)展开根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理.例如21也就是:若则22(1).当位于第一行第一列的情形,
4、即证明:先证由定义,按第一行展开得(2).再证一般情形(第i行除外,其它元素全为零),此时23得24其中得2526于是证毕.定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法或证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D表示成n个行列式之和:27引理28证毕.同理,若按列证明,可得推论.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明:不妨设i＜j,考虑辅助行列式29←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,又将按第j行展开,有于是得30上述证法按
5、列进行,同理可得证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:31例1.利用定理一计算前面的例1解:D3233例2.计算0000解:按第一行展开,有3435递推公式36例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:37下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为3839按归纳法假设,有故40
