行列式的性质与计算

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1、第1.2节行列式的性质线性代数主要内容:一、行列式的性质二、行列式的计算三、思考与练习一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式。(transposeofdeterminant).记说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.推论：行列式可按列展开，也可按行展开．性质1：行列式与它的转置行列式相等.性质2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以一数k，等于用数k乘此行列式.推论:如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则此行列式的值为零性质３:交换行列式两行

2、（列）元素的位置行列式变号.推论1:如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.推论2:行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．推论3:行列式任一行（列）的所有元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零.定理1.2:n阶行列式D的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和等于D；某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于０.1)已知四阶行列式中第二列元素分别是－1，0，2，1，它们的余子式分别是2，－3，－1，4，则2)若3阶行

3、列式D的第二行元素分别为1，2，0，第三行元素的余子式分别为6,x,19，则x=性质４:若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则该行列式等于两个行列式之和.例如:如果那么D1=()(A)8(B)－12(C)24(D)－24性质５:把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变．例如:二、行列式的计算(1)降阶法：例1:计算解法1：直接用定理1.2按第一行展开=3(3+0+1520+3+0)(15243+415+18)(0+4010+2

4、5+6)2(030+10256)=15+570+120=40.解法2：利用性质=40.(2)三角形法：利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值．例2计算.例3:计算解：x+1+…+nx+xx+xx+x例4:计算n阶行列式解:将第都加到第一列得例5:解:将第一行的-1倍分别加到第2,3,…n行上例6计算．例7计算例8计算例9:证明:证明:证用数学归纳法例10证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式三、小结二、行列式

5、的计算一、行列式的性质(1)降阶法(2)三角形法(3)每行（列）所有元素的和相同(4)练习1.2(P18)1.判断下列命题是否正确？(1)若n阶行列式D=0，则D有两行元素相同.(2)若n阶行列式D有一行元素为零，则D=0.(3)若二阶行列式D=0，则D的两行元素对应成比例．(4)若一个n阶行列式D中为零的元素超过个,则D=0.(错)(对)(对)(对)四、思考与练习题