行列式定义性质与计算

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1、2009-2010第一学期线性代数任课教师：时彬彬部门：信息学院办公室：文理大楼718室E-mail：749847377@qq.com下页一、研究对象二、核心方法下页以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式.《线性代数》研究对象与逻辑结构概述通过初等变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解.主要流程为：方程组行最简形矩阵方程组的解初等行变换矩阵三、逻辑结构下页方程组有解？是唯一解？无解，停求唯一解，停求通解，停YNYN例1．显然，此方程组无解.例2．显然，此方程组有无穷多解.

2、例4．此方程组如何求解？例3．显然，此方程组有唯一解.a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm，下页附：关于作业和作业纸问题1．统一要求使用专用的作业纸；作业纸不足者，可联合购买使用，由课代表联系任课教师办理；2．作业由课代表同学收齐后，于下周第一次课前交给任课老师，并注意以下问题：①作业首页上写清楚个人的学号；②课代表同学的作业，在学号后标注_K；③课代表同学负责：

3、⑴将每个同学的作业的左上角用订书机订好（建议用班费为课代表配订书机）；⑵将收齐后的作业按从小到大的学号顺序排序.四、基本要求理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业.第1章行列式1.1二三阶行列式考虑用消元法解二元一次方程组(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1节行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得同理，消去x1得当时，方程组的解为下页二阶行列式当时，方程组的解

4、为为便于叙述和记忆，引入符号D=D1=称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2=于是，当D≠0时，方程组的解为下页j=1，2，3类似引入符号其中D1,D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式求解三元方程组称D为三阶行列式.下页25431是一个5级排列.如，3421是4级排例；例1．写出所有的3级全排列.解：所有的3级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2排列n个自然数1,2,…,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，

5、记为i1i2…in.显然，n级排列共有个n!.其中，排列12…n称为自然排列.下页3421逆序数的计算方法(向前看法)4321从而得τ(3421)=5.5逆序及逆序数定义1在一个级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2in).下页奇排列与偶排列逆序及逆序数定义1在一个级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个

6、排列的逆序数，记为τ(i1i2in).逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.如3421是奇排列，1234是偶排列，因为τ(3421)=5.因为τ(1234)=0.下页定义3符号称为n阶行列式，它表示代数和其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列.元素aij列标行标1.3n阶行列式下页n阶行列式定义a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………(3)n阶行列式共有n!项.(-1)τ(j1j2jn).之前的符号是n个元素的乘积.

7、(1)在行列式中,项是取自不同行不同列的行列式有时简记为

8、aij

9、.一阶行列式

10、a

11、就是a.=说明：下页(2)项乘积a14a23a31a44a14a23a31a44a14a23a31a42a14a23a31a42例如，四阶行列式a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44(-1)τ(4312)a14a23a31a42为行列式中的一项.表示的代数和中有4!=24项.a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312所以它不是行列式中的一项

12、.中有两个取自第四列的元素，下页(为奇排列)，D=行列式计算解：根据行列式定义例1．计算2阶行列式D=注：3阶行列式的计算类似，略.下页例2．计算n阶下三角形行列式D的值其中aii0(i=1,2,,n).D=a11a21a31…an10a22a32…an200a33…an3000…ann……………解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第