行列式定义性质与计算

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1、2011-2012第二学期线性代数任课教师：孔德洲部门：信息学院办公室：文理大楼719室E-mail：kdzhou@sdau.edu.cn线性代数课程是高等学校理工农科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。通过本课程的学习，要使学生获得：线性代数课程的性质与任务第一章、行列式第二章、向量与矩阵第三章、线性方程组第四章、矩阵的对角化与二次型的化简等方面的基本概念、基本理论和基本

2、运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。矩阵本章要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质；2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式；3．会用克莱姆法则解低阶线性方程组.本章重点利用行列式的性质，计算行列式.第一章行列式§1.1阶行列式的概念§1.2行列式的性质与计算§1.3克莱默法则第一章行列式第一章行列式1.1二三阶行列式考虑用消元法解二元一次方程组(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21(a11a22-a12a21)x1=b1a2

3、2-a12b2第1节行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得同理，消去x1得当时，方程组的解为二阶行列式当时，方程组的解为为便于叙述和记忆，引入符号D=D1=称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2=于是，当D≠0时，方程组的解为三阶行列式求解三元方程组用消元法解得j=1，2，3类似引入符号其中D1,D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式求解三元方程组称D为三阶行列式.25431是一个5级排列.如，3421是4级排例；

4、例1．写出所有的3级全排列.解：所有的3级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2排列n个自然数1,2,…,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2…in.显然，n级排列共有个n!.其中，排列12…n称为自然排列.3421逆序数的计算方法(向前看法)4321从而得τ(3421)=5.5逆序及逆序数定义1在一个级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，

5、记为τ(i1i2in).计算逆序数时不要出现重算,一个逆序只能算一次.1.1.2奇排列与偶排列逆序及逆序数定义1在一个级排列i1i2in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2in).逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.如3421是奇排列，1234是偶排列，因为τ(3421)=5.因为τ(1234)=0.对换把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对

6、该排列作一次对换，简称对换.记为（i，j）将相邻的两个数对换，称为邻换.例如邻换（a，b）（a，b）定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.(一次对换改变排列的奇偶性).（a,b）（a,b）邻换对换证明思路：由特殊推一般…m次邻换m+1次邻换…定义3符号称为n阶行列式，元素aij列标行标1.3n阶行列式n阶行列式定义副对角线主对角线行列式的行数与列数必须相同.1.3n阶行列式n阶行列式定义D=D1==a11a21…an1a12a22…

7、an2a1na2n…ann…………1)n阶行列式共有n!项，正负项各占一半.n个元素的乘积.(2)在行列式中,项是取自不同行不同列的行列式有时简记为

8、aij

9、.一阶行列式

10、a

11、就是a.=说明：其中排列j1j2jn要取遍所有n级排列.之前的符号是(3)项行标是自然排列总结：n阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和.在乘积a14a23a31a44a14a23a31a44a14a23a31a42a14a23a31a42例如，四阶行列式a11a21a31a41a12a22a32a42a13a2

12、3a33a43a14a24a34a44(-1)τ(4312)a14a23a31a42为行列式中的一项.表示的代数和中有4!=24项.a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为4312所以它不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，(为奇排列)，D=行列式计算解：根据行列式定义例1．计算2阶行列式D=例2．计算n阶下三角形行列式D的值其中aii0(i=1,2,,n).D=a11a21a31…an10a22a32…an200a33…an3000…ann……………解：为使取自不