线性代数初步行列式定义、性质及其计算

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1、大学文科数学之线性代数与概率统计北京师范大学珠海分校国际特许经营学院与不动产学院2004-2005学年第二学期欧阳顺湘2005.3.10主页：http://172.20.7.30/ouyang/电话：6126101不动产学院房地产经营管理国际特许经营学院特许经营管理专业两个教学班成绩比较教学计划教材：张国楚等编《大学文科数学》第八章－线性代数概述　（6周）第七章－概率统计初步　（11周）要求作业：每两次或每两周交一次，作业本请写学号,作业要自觉认真完成上课不要迟到，不要缺席，珍惜上课时间线性代数初步行列式定义、性质及其计算欧阳顺湘北京师范大学珠海分校主要学习内容两个中心概念：行列式与

2、矩阵解多元线性(一次)方程组、线性变换《九章算术》现存最早的中国古代数学著作，是《算经十书》中最重要的一种。《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。少广：主要讲开平方和开立方的方法。商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。均输：计算税收等更加复杂的比例问题。盈不足：双设法的问题。方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是

3、第一次出现。勾股：勾股定理的应用。今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何.现在这里有上等黍３捆、中等黍２捆、下等黍１捆，打出的黍共有３４斗；另有上等黍１捆、中等黍２捆、下等黍３捆，打出的黍共２６斗。请你回答，上、中、下等黍各１捆所打黍的斗数.当作课后习题，用行列式求解《九章算术》中一道方程题:答曰：上禾一秉，九斗四3x+2y+z=39　　2x+3y+z=34　　x+2y+3z=26《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述

4、的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法．多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产．什么是线性方程(linearequation)如下形式的方程称为线性方程其中，为实常数，为变量线性方程与非线性方程的例子线性方程的几何解释二元一次方程：2-D空间中的直线注意方程系数的含义

5、线性方程的几何解释线性方程的几何解释三元一次方程系数的含义方程系数法向量线性方程的几何解释二元一次方程：2-D空间中的直线三元一次方程：3-D空间中的平面四元一次方程：4-D空间中的超平面线性方程组(systemoflinearequations)线性方程组(systemoflinearequations)线性方程组(systemoflinearequations)线性方程组解的几何解释(有唯一解）线性方程组解的几何解释(无解）线性方程组解的几何解释(有无穷多解）线性方程组解的几何解释(有唯一解）二元一次方程组求解例:消元法一元一方程ax=b当a≠0时，例解二元线性方程组得于是类似

6、地，可得于是一般二元一次方程组的求解消元法线性方程组消去x2,的两边后,两式相加得类似地，可得称它为二阶行列式，于是，上述线性方组的解可以写为上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下记号（系数行列式）例：求解方程小结二阶行列式(determinant)行列式是一个数二阶行列式可以用来表示二元线性方程组的解从二元线性方程组到三元线性方程组推广：用三阶行列式来表示三元线性方程组的公式解问题：怎样定义三阶行列式这样定义三阶行列式沙路法对角线法由此种方法进一步推广到四阶行列式?刚才的方法太复杂寻求其他规律元素的余子式●余子式元素的余子式就是在行列式中划掉元素所在的

7、行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的余子式的乘积之代数和行列式按(第一)行展开例：求解三元线性方程组（课堂练习）行列式按(第一)行展开四阶行列式的计算四阶行列式按行展开计算代数余子式元素的余子式元素的代数余子式●余子式元素的余子式就是在行列式中划掉元素所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式●代数余子式三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的