行列式的性质与计算

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1、1.n阶行列式的定义a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann注:当n=1时,一阶行列式

2、a11

3、=a11,这与绝对值符号的意义是不一样的.定义(定理)设有n2个数，排成n行n列的一个数表，定义n阶行列式为行列式完全展开式行列式也可以如下定义对1,2,…,n的所有排列求和37例如,四阶行列式中,a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44负a12a23a34a41a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a11a12a13a14a2

4、1a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a14a23a32a41前面带____号,正a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a31a22a13a44前面带____号.负没有,a11a22a31a44前面带____号,a13a22a31a44（1）对角行列式282.几个特殊的行列式a110…00a22…0…………00…ann=a11a22…ann.(2)上（下）三角行列式35引理：对n阶行列式的完全展开式中的任一项，任意调换其中因子的次序，即则它们之间的逆序数满足即就是说：无论做多

5、少次对换，行指标与列指标的逆序数之和的奇偶性总保持不变。36证明:行标列标每一次对换同时改变排列的奇偶性行列式也可以如下定义定义(定理)n阶行列式也可定义为对D的所有取自不同行不同列的元素的乘积带符号求和3839例判断在六阶行列式中，下列两项的符号.解列指标431265的逆序数为所以前边应带正号.(1)40行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为所以前边应带正号.(2)由于行标与列标排列的逆序数之和为偶数§2行列式的性质与计算本节中，我们将介绍行列式的性质以及利用行列式的性质来求解行列式。1性质1.DT=D.记D=行列式DT称为D的转置.记bi

6、j=aji,则DTa11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…anna11a21…an1a12a22…an2…………a1na2n…ann,DT=行列式的转置=D.一、行列式的性质性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式变换两行得到的,４于是则有即当时,当时,５故证毕６推论.若行列式D中有两列（行）完全相同,则D=0.a11a12a21a22例如=a11a22a12a21,a12a11a22a21=a12a21a11a22.1122D==

7、1122=DD=0.a11a12…a1nka21ka22…ka2n…………an1an2…anna11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.a11a12…a1nka21ka22…ka2n…………an1an2…anna11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=k.ka11ka12…ka1nka21ka22…ka2n…………kan1kan2…kanna11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=___.kn推论行列式

8、的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明９a11+b11a12…a1na21+b21a22…a2n…………an1+bn1an2…annb11a12…a1nb21a22…a2n…………bn1an2…ann+.a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…annD=性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.例如，D=则D等于下列两个行列式之和：a11+b11a12…a1na21+b21a22…a2n…………an1+bn1an2…anna11+b11a12…a1na

9、21+b21a22…a2n…………an1+bn1an2…annb11a12…a1nb21a22…a2n…………bn1an2…ann+.a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=a+ub+vc+xd+y=[].+abcd(A)uvxy例1.+ubxd(B)uvxy+abcdavcy+ab+vcd+yub+vxd+y例2.a11a12a13a21a22a23a31a32a33ka11a12a13a21a22a23a31+ka11a32+ka12a33+ka13=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+0=a11a12

10、a13a2