§1.2 行列式的性质与计算.ppt

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1、性质1.2.1一、行列式的性质行列式与其转置行列式的值相等.§1.2行列式的性质与计算设行列式DT称为行列式D的转置行列式.记那么性质1.2.3推论1.2.1若行列式两行（列）对应元素相同,则行列式的值为0.互换行列式的两行（列）元素，行列式的值仅改变符号.行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应或的代数余子式乘积之和，即性质1.2.2(按任一行展开)解：用性质计算行列式=5x-45=5x-55+(-2+12)1、2行互换，相邻两行互换,行列式变号.1、i行互换，行列式变号.i、j行互换，行列式变号.数k,推论1.2.2行列式中某一行（列）的公因子可以

2、提到行列式性质1.2.4等于用数k乘此行列式的值.把行列式的某一行（列）中的各元素都乘以同一常符号外面.推论1.2.3若行列式中有两行(列)元素对应成比例，则此行列式值为零.若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列,性质1.2.5则此行列式等于下面两个行列式之和.行列式某一行（列）元素的同一倍数加到另一行（列）对应元素上去，例如第j列的k倍加到第i列上,行列式的值不变.性质1.2.6修改教材P11性质1.2.6例1解：用性质计算行列式上节例4中计算四阶行列式例1解：边简化边降阶练习1练习2解：从第4行开始，后行减前行得，例2解：加边法-r1+r

3、2-r1+r3-r1+r4-r1+r5x=0或y=0时,D=0;否则D=二、行列式的计算例3计算行列式解:其余各行累加到第一行上，用性质计算行列式各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)用性质计算行列式一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。用性质计算行列式例4设用性质计算行列式例5设Ｄ的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，求(1)A11+A12+A13+A14(2)M11+M21+M31+M41*行列式展开定理的另一个用法解:(1)可知A11+A12+A13+A14等于用1,1,1,1代替Ｄ第一行所得的行列式A11+

4、A12+A13+A14=(2)M11+M21+M31+M41=A11-A21+A31-A41r3+r4-2r3+r1行列式某一行（列）的元素与或另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即定理1(展开定理的推论)(展开定理)行列式等于它的任意一行（列）的各或元素与其对应的代数余子式乘积之和，即性质2定理1证明:i行j行Ｄ的第j行各元的代数余子式记作Ajk，k=1,2,…,n,与Ｄ1的第j行各元的代数余子式相同,将Ｄ1按第j行展开,展开式即为所证.依照等式左端构造行列式D1例6设4阶行列式的第2列元素依次为2，m,k,3,第2列元素的代数余子式分别为

5、-1，-1，-1，-1，第4列元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且该行列式的值为1，求m,k的值.解：由行列式的展开定理和推论知*行列式展开定理及推论的用法m=-4,k=-2关于范德蒙行列式注意三点例7范德蒙（Vandermonde）行列式1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.2.结果:可为正可为负可为零.3.共n(n-1)/2项的乘积.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？如范德蒙行列式有几种变形?例计算行列式解证用数学归纳法.所以当n=2时（*）式成立.假设对于n–1阶范德蒙–x1ri-1+ri,i=n,n–1,…2,有因为对

6、n阶范德蒙行列式做运算行列式等式成立.按第1列展开后，各列提取公因子(xi-x1)得椐归纳法假设，可得归纳法完成.三、拉普拉斯(Laplace)定理定义2k阶子式k阶子式的代数余子式定理2（拉普拉斯定理）设D是n阶行列式，取定k(0

7、式中有几项?各项是如何组成的?答:有n!项.每项从不同行不同列选取一个元素(共n个)的乘积;符号为:当行标为标准顺序时,列标的逆序数为偶数符号为正,否则为负.作业和思考题1.用性质灵活地计算一个行列式，如(B)1(3,4)2.思考题：3阶行列式，只有1和-1作为元素，行列式最大值为多少？（选择4，5，6）并说明理由。1.掌握行列式的性质；2.会对性质和按行（列）展开定理初步地应用；3.掌握范德蒙行列式的特点和变形；4.知道拉普拉斯定理。重点：行列式的性质；行列式按行（列）展开定理；能初步地边用性质简化、边降阶计算较简单的行列式；难点：行列式按行（列）展开定

8、理的推论。基本要求重点与难点§1.2行列式的性质