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1、§2行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质二、行列式按任一行（列）展开1定义3设一、行列式的基本性质2因为性质2.互换两行(列),行列式改变符号.註：由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.所以性质1.行列式与它的转置行列式相等,即3註:换行:换列:即例如:4又如:推论1.若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则5推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有性质3.若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即67证明:当i=1时，由行列式的定
2、义知8当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．9推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即10(第j行)推论20.(第i行)也就是11性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变,即12又注意:註:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.13性质1.行列式与它的转置行列式相等,即性质2.互换两行(列
3、),行列式改变符号.性质3.若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变14例1.计算解:D1516例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得1718例3.计算n阶行列式解:此行列式的特点是各行n个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:1920型21例5：计算解:(镶边法)2223二、行列式按任一行(列)展开24定理一.行列式等于它的任一行(列
4、)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即或证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D表示成n个行列式之和:引理：一个n阶行列式，如果其中第i行（或第j列）所有元素除外都为零，则这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，即25引理26推论.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明:不妨设i＜j,考虑辅助行列式27←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,又将按第j行展开,有于是得28上述证法按列进行,同理可得证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:2930例
5、1.利用定理一计算前面的例1解:D3132例2.计算解:按第一行展开,有3334递推公式35例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:36下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为3738按归纳法假设,有故39常见的行列式计算法1.用定义2.化为三角行列式3.每行(列)元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）Ｄ＝40＝所以Ｄ＝０41５．型６．镶边法７．归纳法８．递推法９．利用范德蒙行列式42
