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《线性代数第二节 行列式的基本性质与计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§2行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质二、行列式按任一行（列）展开1定义3设一、行列式的基本性质性质1.行列式与它的转置行列式相等,即2因为性质2.互换两行(列),行列式改变符号.注：由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.所以3注:换行:换列:即例如:4又如:推论1.若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则证明:当第一行元素全为0时,即由行列式定义知D=0;5若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=0.证毕.6推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=
2、0.证明:将相同的两行互换,有性质3.若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即78证明:当i=1时，由行列式的定义知9当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．10性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即证:当i=1时，由行列式的定义知11当i>1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题．12(第j行)推论20.
3、(第i行)也就是推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.13性质5把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式保持不变,即14又注意:注:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.15例1.计算解:D1617例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得1819例3.计算n阶行列式解:此行列式的特点是各行n个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第n列都加到第一列上去:2021解法二(镶边法)当a,b相等时，行列式为0,当a,
4、b不等时2223例：计算解：242526引理一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除外都为零，那末此行列式等于与它的代数余子式的乘积，即二、行列式按任一行(列)展开根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理.例如27也就是:若则28(1).当位于第一行第一列的情形,即证明:先证由定义,按第一行展开得(2).再证一般情形(第i行除外,其它元素全为零),此时29得30其中得3132于是证毕.定理一.行列式等于它的任
5、一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法或证明:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和,再根据性质3,可将D表示成n个行列式之和:33引理34证毕.同理,若按列证明,可得推论.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明:不妨设i＜j,考虑辅助行列式35←第i行←第j行其中第i行与第j行对应元素相同,又将按第j行展开,有于是得36上述证法按列进行,同理可得证毕.小结:关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成:37例1.利用定理一计算
6、前面的例1解:D3839例2.计算0000解:按第一行展开,有4041递推公式42例3.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:43下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为4445按归纳法假设,有故46常见的行列式计算法1.用定义2.化为三角行列式3.每行(列)元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）Ｄ＝47＝所以Ｄ＝０48５．型4950６．镶边法７．归纳法８．递推法９．利用范德蒙行列式51思考题１求：２设求52３．求解：534.设行列式则第四行各元素余子式之和的
7、值=().解:54
