2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.3第2课时充要条件课时跟踪训练含解析新人教B版必修第一册20210203153.doc

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1、充要条件一、复习巩固1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案：A2．若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；p是q的(　　)A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．答案：C3．若p：A⊆B，q：A∩B＝A；p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必

2、要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C4．若x，y∈R，则“x2＝y2”是“

3、x

4、＝

5、y

6、”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：x2＝y2⇔

7、x

8、＝

9、y

10、.答案：C5．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)A．ab＝0B．ab>0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2>0解析：a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.答案：D6．设集合M＝{x

11、0

12、0

13、分又不必要条件解析：∵NM，∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．答案：B7．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：x>5，q：x>10；(5)p：a>b，q：a2>b2.解析：命题(1)和(3)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；命题(2)中，p⇒q，但qp，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，但q⇒p，故p不是q的充要条件；命题(5)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．答案：(1)(3)

14、8．指出下列各组题中，p是q的什么条件？(1)p：x<1，q：x≤2.(2)在四边形中，p：四个角均为90°，q：四边形为正方形．解析：(1)∵x<1⇒x≤2，∴p⇒q.对于q：x＝2成立，但对于p：2<1不成立，∴qp.∴p是q的充分不必要条件．(2)四边形为长方形时，pq.但四边形为正方形⇒四个角均为90°，即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件．9．证明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0，则b2－4ac>0，且<0，∵方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根．必要性：若一元二次方程ax2

15、＋bx＋c＝0有一正根一负根，则Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0.∴ac<0.二、综合应用10．“xy>0”是“

16、x＋y

17、＝

18、x

19、＋

20、y

21、”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：

22、x＋y

23、＝

24、x

25、＋

26、y

27、⇔(x＋y)2＝(

28、x

29、＋

30、y

31、)2⇔xy＝

32、xy

33、⇔xy≥0，xy>0⇒

34、x＋y

35、＝

36、x

37、＋

38、y

39、，但

40、x＋y

41、＝

42、x

43、＋

44、y

45、xy>0.答案：A11．“A∩B＝A”是A＝B的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵A∩B＝A⇒A⊆BA＝B.但A＝B⇒A∩B＝A.答案：B12

46、．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的________条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的________条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的________条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的________条件．答案：(1)充分不必要　(2)必要不充分　(3)充要　(4)既不充分也不必要13．设p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问：(1)s是r的什么条件？(2)p是q的什么条件？解析：由题意可知，p，r，q，s之间的推导关系如图：(1)r⇒s，且s⇒q⇒r.∴s

47、是r的充要条件．(2)p⇒r⇒s⇒q，但qp∴p是q的充分不必要条件．14．求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.证明：①必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即解得k<－2.②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k