高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件第2课时充要条件课后课时精练新人教B版.docx

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1、第2课时　充要条件A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1答案　A解析　函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2.故选A.2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由{x

2、x>5}是{x

3、x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．故选B.3．若

4、x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．故选B.4．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　“a<0且b<0”可以推出“a＋b<0且ab

5、>0”，反之也是成立的．故选C.5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；可从集合的角度考虑得出AD．故选B.二、填空题6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“x>1”是“

6、x

7、>0”的充分不必要条件；③“b2－4ac<0”是“f

8、(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．答案　②④解析　①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒

9、x

10、>0，而由

11、x

12、>0不能推出x>1，所以“x>1”是“

13、x

14、>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由f(x)＝ax2＋bx＋c(a

15、≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，a<0，所以“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．7．“x>0成立”是“

16、x

17、＝x成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案　充分不必要解析　因为

18、x

19、＝x⇒x≥0，{x

20、x>0}{x

21、x≥0}，由此可知“x>0成立”是“

22、x

23、

24、＝x成立”的充分不必要条件．8．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是_______．答案　a<－1解析　方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.三、解答题9．证明：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明　①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，即(1－x)(bx＋c

25、x＋c)＝0.∴ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0.综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.10．已知p：0

26、一个公共实根的充要条件．解　⇔⇔⇔所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.2．设x，y∈R，求证：

27、x＋y

28、＝

29、x

30、＋

31、y

32、成立的充要条件是xy≥0.证明　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，则

33、x＋y

34、＝

35、x

36、＋

37、y

38、成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，

39、x＋y

40、＝x＋y，

41、x

42、＋

43、y

44、＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，

45、x＋y

46、＝－(x＋y)，

47、x

48、＋

49、y

50、＝－x