高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件第2课时充要条件学案新人教B版.docx

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1、第2课时　充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性.【情境导学】(教师独具内容)已知p：三角形的三条边都相等．q：三角形是等边三角形．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．【知识导学】知识点一　充分不必要条

2、件一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件．知识点二必要不充分条件如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．知识点三充要条件(1)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q.(2)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．(4)充要条件与数学中的定义有关，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充

3、要条件．(3)若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．(4)若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x

4、p(x)}，B＝{x

5、q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．(6)若AB且BA，则p是q的既不充

6、分也不必要条件．若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　)(2)符号“⇔”具有传递性．(　　)(3)若pq和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　)(4)“x＝1”是“x

7、2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．(　　)(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________．(2)“x2－1＝0”是“

8、x

9、－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案　(1)x＝1或x＝2　(2)充要　(

10、3)2题型一充要条件的概念及判断方法例1　在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.[解]　(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇

11、∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究]　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解　作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.金版点睛判断p是q的充分必要条件